Interview Prep · 3D Generation / NeRF / Gaussian Splatting

# 3D Generation 面试 Cheat Sheet

NeRF / Instant-NGP / 3DGS / SDS / DreamFusion / Trellis + 25 高频题（L1 必会 · L2 进阶 · L3 顶级 lab）

By Ruofeng Yang (杨若峰), Shanghai Jiao Tong University

Source: `docs/tutorials/3d_generation_tutorial.md` SHA256: `beab28036da8` Rendered: 2026-05-19 07:54 UTC

## §0 TL;DR Cheat Sheet

9 句话搞定 3D Generation

Embodied AI / AR / VR 面试核心要点（详见后文 §1–§11 推导）。

1. 三大表示：NeRF（隐式神经场 + 体渲染）、3DGS（显式 Gaussian 点云 + 光栅化）、Mesh / SDF（显式表面 / 隐式距离场）。重建质量与速度的 sweet spot：3DGS（Kerbl 2023 SIGGRAPH Best Paper）。
2. NeRF 核心公式：$C(\mathbf{r}) = \int_{t_n}^{t_f} T(t)\sigma(\mathbf{r}(t))\mathbf{c}(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})\,dt$，其中 $T(t) = \exp\!\left(-\int_{t_n}^{t}\sigma(\mathbf{r}(s))\,ds\right)$ 是 transmittance。离散化得到 $\alpha$-compositing：$C \approx \sum_i T_i (1-e^{-\sigma_i\delta_i})\mathbf{c}_i$。
3. Instant-NGP (Müller 2022 SIGGRAPH)：多分辨率 hash 网格 + tiny MLP，5+ OOM 加速；hash collision 由 MLP 在含碰撞表项上自动学习消歧（被 loss + 多尺度冗余共同压制）。
4. 3DGS 核心：场景表示为一组 3D Gaussian $\{\mu_i, \Sigma_i, \alpha_i, c_i(\mathbf{d})\}$，可微光栅化通过将 3D 协方差用 Jacobian $J$ 投影到 2D：$\Sigma' = J W \Sigma W^\top J^\top$，按深度排序后做 front-to-back alpha-blending。
5. DreamFusion SDS (Poole et al. 2022 arXiv → ICLR 2023 Outstanding)：用 pretrained 2D diffusion 监督 3D 表示：$\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{SDS} = \mathbb{E}_{t,\epsilon}[w(t)(\epsilon_\phi(x_t;y,t)-\epsilon)\,\partial x/\partial \theta]$，故意去掉 U-Net 对 $x_t$ 求导的 Jacobian 项，使得训练 simulation-free。代价：mode-seeking → over-saturation / Janus。
6. VSD (Wang 2023 NeurIPS, ProlificDreamer)：把 3D 参数 $\theta$ 视为 random variable $\mu(\theta)$，最小化的是渲染加噪图像分布之间的 KL：$\mathbb{E}_t\big[D_\text{KL}\big(q_\mu^t(x_t|y)\,\|\,p_\phi^t(x_t|y)\big)\big]$。梯度形式为 relative score $\nabla_\theta \approx (\epsilon_\phi(x_t;y,t) - \epsilon_\psi(x_t;y,t,\pi))\,\partial x/\partial\theta$，其中 $\epsilon_\psi$ 是 LoRA 微调的辅助 score。CFG 可从 100 降至 7.5。
7. Single-image / Few-view 3D：Zero-1-to-3 (Liu 2023 ICCV) 用 viewpoint conditioned diffusion；SyncDreamer / MVDream 学多视图联合一致性；TripoSR / InstantMesh / Stable Fast 3D 把 image-to-mesh 推到 ≤3 秒。
8. 3D Foundation Models (2024-25 开源)：Trellis (Microsoft 2024) 用 structured latent + flow matching；Hunyuan3D-2 (Tencent 2025) shape→texture 两阶段；CLAY (Zhang 2024 SIGGRAPH) 大尺度 latent diffusion + 3DShape2VecSet。
9. Embodied AI 关键应用：Sim2Real 资产生成、NeRF/3DGS 作为可微 simulator、language-conditioned 3D affordance。面试常见交叉：NeRF SLAM、Gaussian-Splat scene editing、3D 物理一致性。

## §1 三大表示的直觉对比

3D 生成的第一选择题是 representation——选错了下游全废。

| NeRF (Implicit Field) | 3DGS (Explicit Point) | Mesh / SDF
--- | --- | --- | ---
存储 | MLP 权重 $f_\theta(\mathbf{x},\mathbf{d}) \to (\sigma, \mathbf{c})$ | 一堆 3D Gaussian $\{\mu_i, \Sigma_i, \alpha_i, c_i\}$ | 三角网格 / signed distance
渲染 | Ray marching + 体积分（GPU 数百 ms/帧） | Differentiable rasterization（GPU 数 ms/帧） | Rasterization（实时）
训练 | 数百视图，数小时 (vanilla) | 数十视图，10-30 分钟 | 需要 mesh + texture optim
质量 | 视图合成 SOTA | 与 NeRF 持平甚至更好（PSNR 高） | 受多边形分辨率制约
编辑 | 困难（神经场不可解释） | 容易（点可移动、删除、合并） | 容易（标准 DCC 流程）
导出 mesh | 难（需 NeuS / Poisson） | 中等（2DGS / GSDF / SuGaR） | 自身就是 mesh
下游适配 | 物理仿真不友好 | 容易接 PBR、IsaacSim、URDF | 标准 robot / AR/VR pipeline

面试直觉

Embodied AI 倾向 mesh / 3DGS（仿真器友好）；AR/VR 看场景规模（前景小物 mesh，大场景 3DGS）；视觉重建 SOTA 用 3DGS。NeRF 现在偏 research baseline，工业落地以 3DGS 为主。

## §2 NeRF：体渲染原理推导（必考）

### 2.1　连续体渲染公式

NeRF (Mildenhall 2020 ECCV Best Paper Honorable Mention) 把场景表示为 5D 神经场 $f_\theta : (\mathbf{x}, \mathbf{d}) \to (\sigma, \mathbf{c})$：

- 输入：3D 位置 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$ + 视角方向 $\mathbf{d} \in \mathbb{S}^2$
- 输出：体密度 $\sigma \ge 0$（与方向无关）+ 颜色 $\mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$（依赖方向，捕捉镜面反射）

对相机射线 $\mathbf{r}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d}$，沿 $t \in [t_n, t_f]$ 体积分得到像素颜色：

$$\boxed{\;C(\mathbf{r}) = \int_{t_n}^{t_f} T(t)\,\sigma(\mathbf{r}(t))\,\mathbf{c}(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})\,dt\;}$$

其中 transmittance（光线从 $t_n$ 到 $t$ 没被遮挡的概率）：

$$\boxed{\;T(t) = \exp\!\left(-\int_{t_n}^{t}\sigma(\mathbf{r}(s))\,ds\right)\;}$$

### 2.2　为什么是这个形式？— 从物理推导

考虑光线穿过参与介质（participating medium）。在 $[t, t+dt]$ 段内：

- 被吸收 / 散射出射线的概率：$\sigma(\mathbf{r}(t))\,dt$
- 介质在该点发射的颜色贡献：$\mathbf{c}(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})$

令 $T(t)$ 为光线从 $t_n$ 到 $t$ 仍存活的概率。从 $t \to t + dt$，存活概率变化：

$$T(t+dt) = T(t)\,(1 - \sigma\,dt) \;\Rightarrow\; \frac{dT}{dt} = -\sigma(t)\,T(t)$$

这是一个一阶 ODE，初值 $T(t_n) = 1$，解出：

$$T(t) = \exp\!\left(-\int_{t_n}^{t}\sigma(\mathbf{r}(s))\,ds\right)$$

每个深度 $t$ 处贡献到像素的颜色 = 存活概率 × 该处吸收概率 × 该处颜色：

$$dC = T(t)\,\sigma(t)\,\mathbf{c}(t)\,dt$$

积分即得 $C(\mathbf{r})$。

### 2.3　离散化：$\alpha$-compositing（必考推导）

实际无法做连续积分，把 $[t_n, t_f]$ 切成 $N$ 段，每段间距 $\delta_i = t_{i+1} - t_i$，假设段内 $\sigma, \mathbf{c}$ 为常数 $\sigma_i, \mathbf{c}_i$。

段内 transmittance 衰减：在 $[t_i, t_{i+1}]$ 上 $T$ 满足 $dT/dt = -\sigma_i T$，所以

$$\frac{T(t_{i+1})}{T(t_i)} = e^{-\sigma_i \delta_i}$$

由此段间 transmittance：

$$T_i := T(t_i) = \prod_{j=1}^{i-1} e^{-\sigma_j \delta_j} = \exp\!\Big(\!-\!\sum_{j=1}^{i-1}\sigma_j\delta_j\Big)$$

段内颜色贡献（积分而非简单矩形）：

$$\int_{t_i}^{t_{i+1}} T(t)\sigma_i\mathbf{c}_i\,dt = T_i\,\mathbf{c}_i \int_0^{\delta_i} \sigma_i e^{-\sigma_i s}\,ds = T_i\,\mathbf{c}_i\,(1 - e^{-\sigma_i\delta_i})$$

记 $\alpha_i := 1 - e^{-\sigma_i \delta_i}$（段不透明度），合并得 NeRF 离散公式：

$$\boxed{\;C(\mathbf{r}) \approx \sum_{i=1}^{N} T_i\,\alpha_i\,\mathbf{c}_i,\quad T_i = \prod_{j

这正是图形学 front-to-back alpha-compositing 公式。关键：$\alpha_i = 1 - e^{-\sigma_i\delta_i}$ 而非 $\sigma_i\delta_i$；当 $\sigma_i\delta_i$ 小时近似相等（一阶 Taylor），但大时差异显著（饱和到 1 vs 线性发散）。

物理一致性

$\sigma \ge 0$ 与 $\alpha = 1 - e^{-\sigma\delta} \in [0, 1)$ 保证颜色合成 永远在 [0, 1] 内；且无论 ray 怎么穿，$\sum T_i\alpha_i \le 1$（剩余 $T_{N+1}$ 给背景）。

### 2.4　位置编码 $\gamma(p)$：表示高频细节

MLP 默认是低频偏置（NTK 分析），直接拟合 $f(\mathbf{x})$ 会糊。NeRF 用 positional encoding 提频：

$$\gamma(p) = \big(\sin(2^0\pi p),\cos(2^0\pi p),\sin(2^1\pi p),\cos(2^1\pi p),\dots,\sin(2^{L-1}\pi p),\cos(2^{L-1}\pi p)\big)$$

对 $\mathbf{x}$ 用 $L=10$（60 维），对 $\mathbf{d}$ 用 $L=4$（24 维）。后续 Tancik et al. 2020 "Fourier Features" 给了 NTK 解释：高频 $\sin/\cos$ 让 kernel 衰减更慢，使 MLP 可学高频。

### 2.5　Hierarchical Sampling：粗 → 细

- Coarse 网络：均匀采样 $N_c = 64$ 点，渲染得到 weights $w_i = T_i \alpha_i$
- Fine 网络：归一化 $w$ 为 PDF，按重要性采 $N_f = 128$ 新点（重要性采样：表面附近权重大，应密集采样）
- 用 coarse + fine 总共 $N_c + N_f$ 点合成最终颜色
- Loss：$\mathcal{L} = \|C_c - C_\text{gt}\|^2 + \|C_f - C_\text{gt}\|^2$（两个网络都监督，coarse 提供 sampler 的 well-defined 梯度）

### 2.6　NeRF 训练代码（核心 30 行）

    import torch
    import torch.nn as nn
    import torch.nn.functional as F

    def positional_encoding(x: torch.Tensor, L: int) -> torch.Tensor:
        """ x: [..., D];  返回 [..., D*2*L]，NeRF γ(p) 不含原始 x """
        freqs = 2.0 ** torch.arange(L, device=x.device, dtype=x.dtype) * torch.pi
        args = x.unsqueeze(-1) * freqs                # [..., D, L]
        pe = torch.stack([torch.sin(args), torch.cos(args)], dim=-1)  # [..., D, L, 2]
        return pe.flatten(-3)                          # [..., D*2*L]

    def volume_render(sigma: torch.Tensor, color: torch.Tensor, t_vals: torch.Tensor,
                      ray_d: torch.Tensor):
        """
        NeRF 离散 α-compositing
            sigma:   [B, N]        体密度 (>= 0; 通常已经过 softplus / ReLU)
            color:   [B, N, 3]     颜色
            t_vals:  [B, N]        ray 上采样点的 t 值（单调递增）
            ray_d:   [B, 3]        ray 方向（用于把 Δt → 真实距离）
        返回 C: [B, 3], weights: [B, N], depth: [B]
        """
        # δ_i = t_{i+1} - t_i ；最后一段补 1e10（吸收掉远端到无穷的剩余）
        deltas = t_vals[..., 1:] - t_vals[..., :-1]
        delta_far = torch.full_like(deltas[..., :1], 1e10)
        deltas = torch.cat([deltas, delta_far], dim=-1)            # [B, N]
        deltas = deltas * torch.norm(ray_d[:, None, :], dim=-1)    # 把 t-间距换成真实欧氏距离

        alpha = 1.0 - torch.exp(-sigma * deltas)                   # [B, N]
        # T_i = ∏_{j<i} (1 - α_j) —— 用 cumprod，shift 一位让 T_1 = 1
        T = torch.cumprod(torch.cat([torch.ones_like(alpha[..., :1]),
                                     1.0 - alpha + 1e-10], dim=-1), dim=-1)[..., :-1]
        weights = T * alpha                                        # [B, N]
        C = (weights[..., None] * color).sum(dim=-2)               # [B, 3]
        depth = (weights * t_vals).sum(dim=-1)                     # [B]
        return C, weights, depth

数值陷阱

`1 - alpha` 在 alpha 接近 1 时会下溢到 0，连乘后 T 整体被 zeroed；加 `+ 1e-10` 防止 backward 时 `log(0)`。最后一段 `δ → 1e10` 强行把背景的 transmittance 推到 0，否则不可见区域的 ray 颜色会受未采样段污染。

### 2.7　Mip-NeRF / Mip-NeRF 360（抗锯齿）

vanilla NeRF 在低分辨率 / 缩放下走样严重（同一像素对应不同尺度的 cone，但 NeRF 当作 ray 处理）。

- Mip-NeRF (Barron 2021 ICCV)：把 ray 视为 cone（视锥），用 Integrated Positional Encoding (IPE)——对 cone 段内的 PE 做闭式 Gaussian 期望 $\mathbb{E}_{\mathbf{x}\sim\mathcal{N}(\mu,\Sigma)}[\gamma(\mathbf{x})]$。对频率 $\omega = 2^k\pi$ 而言，$\mathbb{E}[\sin\omega x] = \sin(\omega\mu)\,e^{-\frac{1}{2}\omega^\top\Sigma\,\omega}$；高频系数被 cone 协方差 $\Sigma$ 通过 $e^{-\frac{1}{2}\omega^\top\Sigma\omega}$ 自动衰减，自然实现 multi-scale。
- Mip-NeRF 360 (Barron 2022 CVPR)：unbounded scene 用 contraction $f(x) = (2 - 1/\|x\|)\,x/\|x\|$ for $\|x\| > 1$，把无穷远压缩到 ball；加 distortion / proposal MLP 损失。

### 2.8　NeuS / VolSDF：体渲染 + SDF（导出 mesh 的关键）

NeRF 是 density-based，提取 mesh 需选 $\sigma$ 阈值（不稳）。NeuS (Wang 2021 NeurIPS) 用 SDF $d(\mathbf{x})$ 替换 density：

$$\sigma(t) = \max\!\left(\frac{-\frac{d}{dt}\Phi_s(d(\mathbf{r}(t)))}{\Phi_s(d(\mathbf{r}(t)))},\; 0\right),\quad \Phi_s(d) = (1 + e^{-sd})^{-1}$$

其中 $\Phi_s$ 是 sigmoid，$s$ 是可学习"sharpness"。性质：表面处（$d=0$）权重峰值；可直接 Marching Cubes 提 mesh（mesh 是 $\{d = 0\}$）。

VolSDF (Yariv 2021 NeurIPS) 用 Laplace CDF $\sigma = \alpha\,\Phi(-d/\beta)$，思想类似。

## §3 Instant-NGP：5+ OOM 加速（必考）

NeRF (vanilla) 训练一个场景要 1-2 天。Instant-NGP (Müller 2022 SIGGRAPH Best Paper) 5 秒就能拟合一个简单场景。

### 3.1　核心 idea：多分辨率 hash 网格

把"密集网格 vs 大 MLP"换成"稀疏 hash 网格 + tiny MLP"。

- $L$ 层分辨率（如 $L = 16$），第 $\ell$ 层格点数 $N_\ell = \lfloor N_\min \cdot b^\ell \rfloor$，几何级数（$b \approx 1.38$；论文典型取值 $N_\min = 16$，$N_\max \in [512, 2048]$ 视场景大小而定）
- 每层用 hash function 把格点坐标映到固定大小的特征表（$T = 2^{14}$–$2^{24}$，典型 $T = 2^{19} = 524288$）
- 查询点 $\mathbf{x}$：对每层做 8 角点三线性插值 → 拼成 $L \times F$ 维特征（$F = 2$）
- 喂给 tiny MLP ($2$ 层, hidden 64) 输出 $\sigma, \mathbf{c}$

### 3.2　Hash function

$$\text{hash}(\mathbf{x}) = \bigg(\bigoplus_{i=1}^{d} x_i \cdot \pi_i\bigg) \bmod T$$

$\pi_i$ 是大质数（$\pi_1 = 1, \pi_2 = 2654435761, \pi_3 = 805459861$）。 $\oplus$ 是 XOR。这是一种 spatial hash：常用于物理仿真的 BVH。

### 3.3　Hash collision 怎么消歧？（L3 高频追问）

当 $N_\ell^d > T$（fine level 必然发生），多个格点映到同一表项 → 冲突。Why does it still work?

1. Multi-resolution 冗余：粗 level 的特征 unique（$N_\ell^d \le T$），细 level 提供补充。MLP 可从粗特征恢复结构，细 level 只负责 detail。
2. 稀疏性优先：大部分空间是空（NeRF 场景多数 voxel 是 background），有意义的 query 集中在表面附近，冲突的"有效格点对"很少。
3. 梯度自动消歧：训练时只有表面附近格点会有非零梯度（被 ray weights 加权）。空白区的"冲突 entry"得不到梯度信号，不污染表面 entry。
4. MLP 后处理：tiny MLP 在 $L \times F$ 拼接特征上学一个分类/回归，遇到冲突的表面点可用 其他 level 不冲突的特征 disambiguate。

面试高分回答

"Hash collision 看似破坏 unique 性，但实际生效区域是稀疏的（场景的 thin surface 仅占 voxel 总数极小比例），冲突区域大概率是无监督信号的 background；即便表面也有冲突，多分辨率层的非冲突特征 + tiny MLP 也能学到一致输出。这是个 'lazy collision resolution'：与其代价昂贵地搞 perfect hash，不如用冗余 + 数据驱动消歧。"

### 3.4　Instant-NGP 训练公式

参数：hash table $\theta_\text{hash} \in \mathbb{R}^{L \times T \times F}$ + MLP weights $\theta_\text{MLP}$。Loss 仍是 photometric MSE，但训练 5 秒 vs NeRF 1 天的差别来自：

- Tiny MLP：参数少 100×，前向快 ~50×
- Hash 表：稀疏激活，cache friendly
- CUDA kernel fuse：tiny-cuda-nn 把 forward + backward 融合
- Occupancy grid：粗占用网格 skip 空白区采样，避免无效 query

### 3.5　Plenoxels / TensoRF（同期的 explicit 派）

Plenoxels (Fridovich-Keil 2022 CVPR)：纯 voxel 网格 + 球谐 SH 系数 + density，完全没 MLP，直接梯度下降到 voxel；速度类似 Instant-NGP 但显存大。TensoRF (Chen 2022 ECCV)：把 4D tensor field 用 VM / CP 分解 压缩，参数量从 $O(N^4)$ 降到 $O(N)$ 或 $O(N^2)$。

## §4 3D Gaussian Splatting：显式可微光栅化（当前主力）

3DGS (Kerbl 2023 SIGGRAPH Best Paper) 解决了 NeRF 的两大痛：渲染慢、editing 难。

### 4.1　场景表示

场景 = 一组 3D Gaussian $\{G_i\}$，每个：

- 均值 $\mu_i \in \mathbb{R}^3$（位置）
- 协方差 $\Sigma_i \in \mathbb{R}^{3\times 3}$（形状），分解为 $\Sigma = R S S^\top R^\top$（rotation $R$ + diag scaling $S$）
- 不透明度 $\alpha_i \in [0, 1]$
- 颜色 $c_i(\mathbf{d})$ 用 SH 系数（$\ell = 3$，每色 16 系数，共 48 参数）

为什么用 $R S S R^\top$ 而不直接学 $\Sigma$？— 要保证 $\Sigma$ 正定。直接学 $\Sigma$ 矩阵在梯度下会跑出半正定锥；分解后只需保证 $R$ 正交（用四元数 $q$ 参数化）+ $S$ 正（用 $\exp(s)$ 参数化），自然满足。

### 4.2　3D → 2D 投影 Jacobian（L3 必考推导）

把 3D Gaussian splat 到屏幕上做光栅化，需要把 3D 协方差 $\Sigma$ 投影到 2D 协方差 $\Sigma'$。

Step 1：World → Camera：刚体变换 $W \in SE(3)$。$\Sigma_\text{cam} = W \Sigma W^\top$（这里 $W$ 取旋转部分；平移不影响协方差）。

Step 2：Camera → Screen：透视投影非线性：

$$\pi(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} f_x\,x/z \\ f_y\,y/z \end{pmatrix}$$

非线性映射的协方差近似用一阶 Taylor。在均值 $\mu_\text{cam} = (x, y, z)$ 处求 Jacobian：

$$J = \frac{\partial \pi}{\partial \mathbf{x}}\bigg|_{\mu_\text{cam}} = \begin{pmatrix}\dfrac{f_x}{z} & 0 & -\dfrac{f_x\,x}{z^2}\\[2pt] 0 & \dfrac{f_y}{z} & -\dfrac{f_y\,y}{z^2}\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 3}$$

Step 3：2D 协方差（核心公式）：

$$\boxed{\;\Sigma' = J\,W\,\Sigma\,W^\top\,J^\top \in \mathbb{R}^{2\times 2}\;}$$

推导：若 $\mathbf{x} \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$，则一阶近似 $\pi(\mathbf{x}) \approx \pi(\mu) + J(\mathbf{x} - \mu)$，所以 $\text{Cov}[\pi(\mathbf{x})] \approx J\,\Sigma_\text{cam}\,J^\top = J W \Sigma W^\top J^\top$。这就是 EWA splatting (Zwicker 2001) 的经典推论。

### 4.3　可微光栅化：tile-based front-to-back alpha-blending

像素 $\mathbf{p}$ 的颜色：

$$C(\mathbf{p}) = \sum_{i \in \mathcal{N}(\mathbf{p})}\,c_i\,\alpha_i\,G_i'(\mathbf{p}) \prod_{j < i}\big(1 - \alpha_j\,G_j'(\mathbf{p})\big)$$

其中 $G_i'(\mathbf{p}) = \exp\!\big(-\tfrac{1}{2}(\mathbf{p} - \mu_i')^\top \Sigma_i'^{-1} (\mathbf{p} - \mu_i')\big)$ 是 2D Gaussian 在像素的值，$\mathcal{N}(\mathbf{p})$ 是覆盖 $\mathbf{p}$ 的 Gaussian 按深度排序。

关键工程：

1. Tile 划分：屏幕分成 $16\times 16$ tile，每 tile 内 Gaussian 按深度排序，并行渲染
2. GPU sort：用 radix sort，按 `(tile_id, depth)` 复合键
3. Front-to-back early stop：当累计 $\prod(1 - \alpha G') < 10^{-4}$ 时退出
4. CUDA kernel：作者公开 `diff-gaussian-rasterization`，前向 + 反向都是 manual derivative

### 4.4　3DGS 前向（PyTorch reference 实现）

    def quat_to_rot(q: torch.Tensor) -> torch.Tensor:
        """ q: [N, 4] (w, x, y, z) already normalized;  返回 R: [N, 3, 3] """
        w, x, y, z = q.unbind(-1)
        R = torch.stack([
            1 - 2*(y*y + z*z),   2*(x*y - w*z),     2*(x*z + w*y),
            2*(x*y + w*z),       1 - 2*(x*x + z*z), 2*(y*z - w*x),
            2*(x*z - w*y),       2*(y*z + w*x),     1 - 2*(x*x + y*y),
        ], dim=-1).reshape(-1, 3, 3)
        return R

    def gaussian_splat_forward(
        means3D: torch.Tensor,        # [N, 3]  Gaussian 中心 (world)
        scales: torch.Tensor,          # [N, 3]  log-scale (取 exp 得真实 scale)
        quats: torch.Tensor,           # [N, 4]  四元数 (会归一化)
        opacities: torch.Tensor,       # [N, 1]  σ(logit) → α
        colors: torch.Tensor,          # [N, 3]  (这里简化为 RGB，不展 SH)
        viewmat: torch.Tensor,         # [4, 4]  world→camera
        K: torch.Tensor,               # [3, 3]  内参 (fx, fy, cx, cy)
        H: int, W: int,
    ):
        """ 教学版前向：不做 tile sort / CUDA，仅展示数学。
            实际生产用 gsplat / diff-gaussian-rasterization。 """
        N = means3D.shape[0]
        device = means3D.device

        # --- 1. World → Camera ---
        homo = torch.cat([means3D, torch.ones(N, 1, device=device)], dim=-1)
        mu_cam = (homo @ viewmat.T)[:, :3]                          # [N, 3]
        z = mu_cam[:, 2].clamp(min=1e-4)                            # 防除零

        # --- 2. 协方差 (3D) ---
        q = quats / quats.norm(dim=-1, keepdim=True)
        R = quat_to_rot(q)                                          # [N, 3, 3]
        S = torch.diag_embed(torch.exp(scales))                     # [N, 3, 3]
        cov3D = R @ S @ S.transpose(-1, -2) @ R.transpose(-1, -2)   # [N, 3, 3]

        # World→Cam 旋转部分 W_rot (3x3) 应用到协方差
        W_rot = viewmat[:3, :3]
        cov_cam = W_rot @ cov3D @ W_rot.T                           # [N, 3, 3]

        # --- 3. 投影 Jacobian J (2x3) ---
        fx, fy = K[0, 0], K[1, 1]
        x_c, y_c, z_c = mu_cam[:, 0], mu_cam[:, 1], z
        J = torch.zeros(N, 2, 3, device=device)
        J[:, 0, 0] = fx / z_c
        J[:, 0, 2] = -fx * x_c / z_c**2
        J[:, 1, 1] = fy / z_c
        J[:, 1, 2] = -fy * y_c / z_c**2

        # --- 4. 2D 协方差 Σ' = J W Σ W^T J^T ---
        cov2D = J @ cov_cam @ J.transpose(-1, -2)                   # [N, 2, 2]
        cov2D = cov2D + 0.3 * torch.eye(2, device=device)           # low-pass filter (anti-aliasing)

        # --- 5. 2D 中心 (像素坐标) ---
        cx, cy = K[0, 2], K[1, 2]
        mu2D = torch.stack([fx * x_c / z_c + cx, fy * y_c / z_c + cy], dim=-1)  # [N, 2]

        # --- 6. 深度排序 (front to back) ---
        depth = z_c
        order = depth.argsort()                                     # ascending z
        mu2D, cov2D = mu2D[order], cov2D[order]
        colors_o = colors[order]
        alphas = torch.sigmoid(opacities[order]).squeeze(-1)        # [N]

        # --- 7. 像素遍历 (教学版用全图 loop；真实实现 tile + CUDA) ---
        yy, xx = torch.meshgrid(torch.arange(H, device=device),
                                torch.arange(W, device=device), indexing='ij')
        pix = torch.stack([xx, yy], dim=-1).float()                 # [H, W, 2]

        img = torch.zeros(H, W, 3, device=device)
        T_acc = torch.ones(H, W, device=device)
        inv_cov = torch.linalg.inv(cov2D)                           # [N, 2, 2]

        for i in range(mu2D.shape[0]):
            diff = pix - mu2D[i]                                    # [H, W, 2]
            # 2D Gaussian: exp(-0.5 (diff)^T Σ^-1 (diff))
            G = torch.exp(-0.5 * (diff @ inv_cov[i] * diff).sum(-1))  # [H, W]
            contrib = alphas[i] * G                                 # [H, W]
            contrib = contrib.clamp(max=0.99)                       # 数值
            img = img + (T_acc * contrib).unsqueeze(-1) * colors_o[i]
            T_acc = T_acc * (1 - contrib)
            if (T_acc < 1e-4).all():                                # early stop
                break

        return img

教学版 vs 生产版差距

上面是 $O(N \cdot HW)$，30k Gaussian + 800×800 图就要好几秒。真实 `gsplat` 是 (a) tile-based: 每 tile 只处理"接触此 tile"的 Gaussian；(b) GPU radix sort 复合键；(c) 整个 forward / backward 全 manual CUDA，1080p ≤ 10ms。

### 4.5　自适应密度控制（面试常问）

3DGS 初始用 SfM (COLMAP) 稀疏点云，但训练过程要"撒"出更多 Gaussian。

触发条件 | 操作 | 直觉
--- | --- | ---
梯度大 + scale 小 | clone（复制一份，沿梯度方向偏移） | "under-reconstruction"——这块区域缺细节
梯度大 + scale 大 | split（拆成 2 个小 Gaussian，scale ÷ 1.6） | "over-reconstruction"——一个大 Gaussian 覆盖了不该覆盖的区域
opacity 接近 0 | prune（删除） | 该 Gaussian 没贡献，浪费显存
每 3k iter | reset opacities to 0.005 | 让 model 重新学透明度，防止 floater

启发式条件：`gradient norm > τ_pos`（如 $2 \times 10^{-4}$），`scale > τ_scale`（场景尺度 1%）。

    def densify_and_prune(gaussians, grad_thresh=2e-4, scale_thresh=0.01,
                          max_screen_size=None):
        """ 教学版 densify 决策（简化；真实 gsplat 还有 screen-size 触发）。
            假设 gaussians 暴露以下 1D 形状的字段（N = 当前 Gaussian 数量）:
              xyz_grad_accum: [N]  ‖累积 xyz 梯度范数‖
              denom:          [N]  累积次数（防 /0）
              scales:         [N, 3]  log-scale
              opacities:      [N]  sigmoid 后 ∈ (0, 1)
              screen_size:    [N]  最近一次渲染的屏幕投影大小（可选）
              grad_dir:       [N, 3]  最近一次梯度方向（用于 clone offset）
        """
        grad_norm  = gaussians.xyz_grad_accum / gaussians.denom.clamp(min=1)      # [N]
        mean_scale = gaussians.scales.exp().max(dim=-1).values                    # [N]

        # CLONE：高梯度 + 小 scale —— 复制一份并沿梯度方向偏移；原始保留
        clone_mask = (grad_norm > grad_thresh) & (mean_scale <= scale_thresh)     # [N]
        gaussians.clone_at(clone_mask, offset=gaussians.grad_dir[clone_mask])

        # SPLIT：高梯度 + 大 scale —— 拆成 2 个子高斯（scale ÷ 1.6），并在末尾删除原始
        split_mask = (grad_norm > grad_thresh) & (mean_scale >  scale_thresh)     # [N]
        gaussians.split_at(split_mask, n=2, scale_div=1.6)

        # PRUNE：低 opacity / 屏幕过大 / 已被 split 标记
        # ⚠️ 注意：clone 增加的新 Gaussian 已 append 到末尾，长度变了；这里的 mask 仅作用于原 N 个
        prune_mask = (gaussians.opacities[:split_mask.shape[0]] < 0.005) | split_mask
        if max_screen_size is not None:
            prune_mask = prune_mask | (gaussians.screen_size[:split_mask.shape[0]] > max_screen_size)
        gaussians.remove_original(prune_mask)   # 只删除原始 N 个里被标记的

        gaussians.reset_grad_accum()
        return gaussians

典型超参数

Kerbl 2023 paper: densify every 100 iters；最大 Gaussian 数 5e6；总训练 30k iter；约 30 分钟到几小时。

### 4.6　2DGS / Surfels（surface-aligned）

3DGS 的 ellipsoid 不是 surface-aware；提 mesh 需 SuGaR / GSDF 后处理。2DGS (Huang 2024 SIGGRAPH) 把 3D ellipsoid 退化成 2D disk（一个 axis = 0），直接对齐表面，更适合 normal / depth 监督，提 mesh 时质量明显更好。

### 4.7　动态 4DGS

Dynamic 3DGS (Luiten 2024 3DV) 每帧独立 Gaussian + 物理 prior 连接；4DGS (Wu 2024 CVPR / Yang 2024 ICLR) 把 $\mu(t), \Sigma(t)$ 写成时间函数（MLP 或 spline）；SC-GS (Huang 2024) 用 sparse control points 驱动密集 Gaussian（类似 LBS）。

## §5 Mesh 提取：Marching Cubes / DMTet

NeRF / 3DGS 重建后，下游（仿真器、AR、3D 打印）经常需要 mesh。

### 5.1　Marching Cubes（经典必考）

输入：3D 标量场 $f(\mathbf{x})$（density / SDF）+ 阈值 $\tau$。输出：水平集 $\{f = \tau\}$ 的三角网格。

算法骨架：

1. 把空间 voxel 化（每 voxel 8 角点）
2. 对每个 voxel，8 角点二值化（$f > \tau$ 为 1, 否则 0）→ 256 种可能配置
3. 查 lookup table：每个配置预定义了几条等值面三角片 + edge 上的顶点位置
4. 线性插值 找精确顶点：在 edge 两端 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 之间，插值 $t = (\tau - f(\mathbf{a})) / (f(\mathbf{b}) - f(\mathbf{a}))$，顶点 $= \mathbf{a} + t(\mathbf{b} - \mathbf{a})$
5. 合并所有 voxel 三角片 → 完整 mesh

    def marching_cubes_sketch(density: torch.Tensor, threshold: float):
        """ 真实实现用 mcubes / scikit-image / pytorch3d；这里写思路 """
        from skimage.measure import marching_cubes
        # density: [Nx, Ny, Nz]；detach() 切断 autograd 图，cpu().numpy() 转 host
        verts, faces, normals, _ = marching_cubes(
            density.detach().cpu().numpy(),
            level=threshold,
            spacing=(1.0, 1.0, 1.0),
            gradient_direction='descent',  # 法线方向；descent = surface 朝低密度
        )
        return verts, faces, normals

NeRF 提 mesh 坑

vanilla NeRF 没有"表面"概念，提 mesh 时阈值 $\tau$ 难选，且 floater 会被一起提出来。用 NeuS / VolSDF 提 mesh 才稳（SDF 0 等值面定义良好）。

### 5.2　Differentiable: DMTet / FlexiCubes（端到端学 mesh）

Marching Cubes 不可微（lookup table 离散）。

- DMTet (Shen 2021 NeurIPS / Munkberg 2022 CVPR)：用 deformable tetrahedral grid，每四面体 4 顶点 SDF + 位置 offset 可微。Marching Tetrahedra 替代 MC，topology 由 SDF sign 决定，几何由顶点位置决定，全程可微。
- FlexiCubes (Shen 2023 SIGGRAPH)：泛化 dual marching cubes，引入额外可学参数（dual vertex offset / interpolation weight）解决 quality artifacts。

典型用法：DreamFusion 之后的 Magic3D、Fantasia3D 用 DMTet 在 SDS 监督下学 mesh + texture。

## §6 SDS Loss：用 2D Diffusion 监督 3D（DreamFusion 系列）

### 6.1　问题设置

我们想生成 3D 资产但 没有 3D 训练数据——3D 数据稀缺（ShapeNet ~5万件，Objaverse-XL 1000万件但质量参差）。Pretrained 2D diffusion（Stable Diffusion, Imagen）海量。能否用 2D diffusion 当老师 supervise 3D？

DreamFusion (Poole et al. 2022 arXiv → ICLR 2023 Outstanding Paper) 提出 Score Distillation Sampling (SDS)。

### 6.2　Setup

- 3D 表示 $\theta$（NeRF 参数 / DMTet vertices / 3DGS 点云）
- 可微渲染器 $g(\theta, \pi) \to x$，$x$ 是图像（$\pi$ 是相机视角）
- Pretrained 2D diffusion $\epsilon_\phi(x_t; y, t)$（$y$ 是文本 prompt）

目标：让 $g(\theta, \pi)$ 看起来像"$y$ 的 photo"，即 $g(\theta, \pi)$ 落在 diffusion 学到的数据流形上。

### 6.3　SDS gradient 推导（L3 必考）

直觉：用 diffusion training loss 反传到 $\theta$。Naive 想法：把渲染图 $x = g(\theta, \pi)$ 当训练样本，最小化

$$\mathcal{L}_\text{diff}(\theta) = \mathbb{E}_{t, \epsilon}\Big[w(t)\big\|\epsilon_\phi(x_t; y, t) - \epsilon\big\|^2\Big],\quad x_t = \alpha_t x + \sigma_t \epsilon$$

对 $\theta$ 求梯度（链式法则）：

$$\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{diff} = \mathbb{E}\Big[w(t)\,2\big(\epsilon_\phi(x_t; y, t) - \epsilon\big)\,\underbrace{\frac{\partial \epsilon_\phi(x_t;y,t)}{\partial x_t}}_{\text{U-Net Jacobian}}\,\alpha_t\,\underbrace{\frac{\partial x}{\partial \theta}}_{\text{renderer Jacobian}}\Big]$$

问题：U-Net Jacobian $\partial \epsilon_\phi / \partial x_t$ 计算昂贵且数值差（diffusion 模型大且未训练 second-order 稳定）。

SDS trick：直接扔掉 U-Net Jacobian，得到：

$$\boxed{\;\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{SDS} \;=\; \mathbb{E}_{t, \epsilon}\Big[w(t)\,\big(\epsilon_\phi(x_t; y, t) - \epsilon\big)\,\frac{\partial x}{\partial \theta}\Big]\;}$$

(原 DreamFusion 论文写成 $\partial L/\partial \theta$ 形式；$\alpha_t$ 与常数 2 被吸收到 $w(t)$ 里。)

### 6.4　为什么扔掉 Jacobian 反而 work？

第一种解释（DreamFusion 原版，score 视角）：$\epsilon_\phi(x_t; y, t)/\sigma_t \approx -\nabla_{x_t}\log p_\phi(x_t|y)$（score）。 SDS gradient = `(predicted score - noise) × renderer Jacobian`，相当于把渲染图朝高概率方向推。

第二种解释（mode-seeking）：SDS 等价最小化 $\mathbb{E}_t[D_\text{KL}(q(x_t|\theta) \,\|\, p_\phi(x_t|y))]$ 的某种 mode-seeking 形式：往 $p_\phi(\cdot|y)$ 的高概率区跑。

### 6.5　SDS 副作用：over-saturation / mode collapse / Janus

- Over-saturation：颜色饱和，对比度过高（"plastic-y look"）
- Over-smoothing：细节糊
- Mode collapse：物体趋于"canonical" 单一形式
- Janus problem：3D 物体在不同视角都长出一张"前脸"（人脸出现在头后；动物两边都是头）

根因：SDS 等价 mode-seeking KL，加上大 CFG 系数（DreamFusion 默认 100）才能逃出 mean-mode。CFG=100 把分布锐化到极端 → over-saturation。

面试高分点

SDS 公式形式上"丢掉 Jacobian"省了计算，但代价是隐式变成 mode-seeking KL，需要超大 CFG 来缓解 mean-seeking blur；超大 CFG 又导致 over-saturation。这是个信息论 trade-off：simulation-free + computationally cheap = mode-seeking artifact。

### 6.6　SDS 代码（核心 30 行）

    def sds_loss(
        renderer,                 # θ → x (B, 3, H, W)
        theta,                    # 3D 参数 (NeRF / 3DGS / DMTet)
        prompt_emb,               # 文本 embedding (cond) [B, L, D]
        uncond_emb,               # 文本 embedding (uncond / null) [B, L, D]
        unet,                     # frozen 2D diffusion U-Net (e.g. SD); 返回 noise pred Tensor
        alpha_cumprod: torch.Tensor,  # [T_max] precomputed bar-alpha schedule
        cfg_scale: float = 100.0,
        t_range: tuple = (0.02, 0.98),
    ):
        """ Score Distillation Sampling loss (DreamFusion).
            约定: unet(x_t, t, encoder_hidden_states=emb) -> [B, 3, H, W] noise pred.
            如果用 diffusers 的 UNet2DConditionModel, 包一层取 .sample 即可。
            返回的是 grad surrogate, 直接 backward 即可。 """
        x = renderer(theta)                                  # [B, 3, H, W]
        B = x.shape[0]
        device, dtype = x.device, x.dtype
        T_max = alpha_cumprod.shape[0]                       # 通常 1000

        # 1. 采样 t 和 noise，forward 加噪
        t = torch.randint(int(t_range[0] * T_max), int(t_range[1] * T_max),
                          (B,), device=device)
        noise = torch.randn_like(x)
        abar = alpha_cumprod.to(device=device, dtype=dtype)[t].view(B, 1, 1, 1)
        x_t = abar.sqrt() * x + (1 - abar).sqrt() * noise

        # 2. U-Net 预测 noise (cond / uncond)，CFG 组合；关键：不对 diffusion 求导
        with torch.no_grad():
            eps_uncond = unet(x_t, t, encoder_hidden_states=uncond_emb)
            eps_cond   = unet(x_t, t, encoder_hidden_states=prompt_emb)
            eps_pred = eps_uncond + cfg_scale * (eps_cond - eps_uncond)

        # 3. SDS gradient: w(t)(ε_pred - ε) · ∂x/∂θ; w(t) = σ_t² 是常见选择
        grad = ((1 - abar) * (eps_pred - noise)).detach()
        # backward of (grad · x) 给出 grad · ∂x/∂θ
        return (grad * x).sum() / B

训练 loop

每 iter 随机采视角 $\pi$，渲染 $x$，算 SDS loss，反传到 $\theta$。NeRF 表示要训 10k-100k 步（GPU 几小时）；3DGS 表示（GaussianDreamer / DreamGaussian）几分钟到一小时。

### 6.7　VSD：变分 SDS（ProlificDreamer, NeurIPS 2023 Spotlight）

VSD (Wang 2023 NeurIPS) 把 SDS 视为"对 single $\theta$ 做点估计"的特殊情况，泛化为对 $\theta$ 分布 $\mu(\theta)$ 做变分推断。

#### Setup

- 把 3D 参数 $\theta$ 当 latent random variable，$\mu(\theta)$ 是其分布
- 目标：让 rendered image distribution 与 diffusion 学到的 prior 分布对齐（不是 mode 对齐）

#### Objective and gradient

ProlificDreamer 把目标写成 KL：

$$\min_{\mu}\; D_\text{KL}\!\Big(q_\mu^t(x_t|y)\;\Big\|\;p_\phi^t(x_t|y)\Big),\quad t\sim\mathcal{U}[0,1]$$

其中 $q_\mu^t$ 是 "从 $\theta\sim\mu$ 渲染 + 加噪到 $t$" 诱导的分布。变分梯度（Wang et al. 2023, Theorem 2 略写）给出关于 $\theta$ 的更新方向为 relative score：

$$\boxed{\;\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{VSD} \;=\; \mathbb{E}_{t,\epsilon}\Big[\,w(t)\,\big(\epsilon_\phi(x_t;y,t) \;-\; \epsilon_\psi(x_t;y,t,\pi)\big)\,\frac{\partial x}{\partial \theta}\,\Big]\;}$$

对比 SDS：把 raw noise $\epsilon$ 替换成辅助 score $\epsilon_\psi$。$\epsilon_\psi$ 是 LoRA 微调 的 score network，在线最小化 score-matching loss 来跟踪当前 $q_\mu^t$ 的 score；它扮演的是 "variance-reduction baseline" 的角色（与 RL actor-critic 的 value baseline 同构）。注意：上面是 gradient form，不是平方-loss form；论文没有"先写一个 $\|\epsilon_\phi-\epsilon_\psi\|^2$ 标量 loss 再求导"的可实现形式——$\epsilon_\psi$ 依赖 $\mu$，那样会丢掉 KL 的关键项。

#### 直觉为什么缓解 over-saturation

- SDS：把 rendered $x$ 推向 prior $p_\phi(\cdot|y)$ 的 mode（mean-mode → 需 CFG=100 → over-saturation）
- VSD：用辅助 score 学当前 rendered 分布的"自己的 mode"，更新方向 = 从"我现在在哪"指向"prior 在哪"（relative gradient），不需大 CFG 拉满。CFG 可降到 7.5（常规 diffusion 默认值），avoid extreme sharpening
- 实验上：VSD 颜色更自然，几何更复杂，可同时维护多个 mode（ProlificDreamer 给出 50k 步训练得 photorealistic Buddha 等）

VSD vs SDS 的关键认知

SDS 是 "single-point + mode-seeking"；VSD 是 "particle / variational + relative score"。后者本质是给 SDS 加了个可学习 baseline（$\epsilon_\psi$）减方差，思想上类比 RL actor-critic 的 value baseline。

### 6.8　SDS 衍生家族：mesh / 3DGS + SDS

方法 | 表示 / Stages | 关键点
--- | --- | ---
DreamFusion | NeRF + SDS @ low-res | 原版，提 mesh 难
Magic3D (Lin 2023 CVPR) | Instant-NGP @ 64px → DMTet + SDS @ 512px | 两阶段：粗结构 → 高分辨率端到端 mesh
Fantasia3D (Chen 2023 ICCV) | DMTet 几何 + PBR material | normal-as-input + 物理材质 BRDF
DreamGaussian (Tang 2024 ICLR) | 3DGS + SDS, ~2 分钟 / 物体 | GPU 速度优势；mesh export + UV-Net texturing
GaussianDreamer (Yi 2024 CVPR) | Point-E / Shap-E init → 3DGS + SDS | 缓解 from-scratch 几何混乱

## §7 Single-Image / Few-View 3D 生成

更实用的设定：给一张图，生成 3D。

### 7.1　Zero-1-to-3 范式（novel view via diffusion）

Zero-1-to-3 (Liu 2023 ICCV)：用 Objaverse 上 finetune Stable Diffusion，让它接收 (input view, target camera) → output novel view。

- Input：单图 $x$ + 相对相机位姿 $\Delta R, \Delta T$
- Diffusion conditioning：image embedding (CLIP) + camera embedding (sinusoidal)
- Output：在 $\Delta R, \Delta T$ 视角下的图

用法：给一个 input view，sample 16-32 个 novel view，再用 NeRF / 3DGS 重建。

衍生：

- Zero-1-to-3++ (Shi 2023)：固定生成 6 个 anchor view（北极视角 + 4 平视角 + 俯视角），减少 randomness
- SyncDreamer (Liu 2024 ICLR)：在 latent 上联合预测多视图（cross-attention 让 views 看到彼此），保证 3D 一致
- MVDream (Shi 2024 ICLR)：text-to-multi-view，4 视图同时生成；后接 SDS 精化

### 7.2　One-2-3-45 / InstantMesh / TripoSR / Stable Fast 3D

方法 | 输入 | 输出 | 速度 | 关键
--- | --- | --- | --- | ---
One-2-3-45 (Liu 2023 NeurIPS) | 单图 | mesh | 45 秒 | Zero-1-to-3 → SparseNeuS
One-2-3-45++ (Liu 2024) | 单图 | mesh | 60 秒 | 多视图 + SDF
TripoSR (Tochilkin 2024, Stability+Tripo) | 单图 | NeRF/mesh | 0.5-2 秒 | LRM (Large Reconstruction Model) 风格 transformer
InstantMesh (Xu 2024) | 单图 | mesh | 3 秒 | Zero-1-to-3++ 多视图 → sparse-view recon transformer
Stable Fast 3D (SF3D, Stability 2024) | 单图 | textured mesh | ~0.5 秒 | TripoSR 后继；加 illumination disentangle + UV unwrap

LRM (Hong et al. 2023 arXiv → ICLR 2024) 设定：把图当 token + Plucker ray embedding，transformer 输出 NeRF triplane。这是 TripoSR / InstantMesh 的母模型。

### 7.3　LRM Triplane 表示（面试高频）

- Triplane (Chan 2022 EG3D)：3 个轴对齐 2D 平面（XY, YZ, XZ），共 $3 \times C \times N \times N$ 维
- 查询 3D 点 $(x, y, z)$：在每个平面双线性插值 → concat → 小 MLP → $(\sigma, \mathbf{c})$
- 优点：比 voxel grid 显存少（$O(N^2)$ vs $O(N^3)$），比 hash grid 更 dense 适合 transformer 输出
- LRM / TripoSR / InstantMesh 都让 transformer 直接 regress triplane tokens

## §8 3D Foundation Models（2024 开源浪潮）

### 8.1　Trellis (Microsoft 2024, 开源)

Trellis (Xiang 2024 arXiv) 是首个尝试做"3D 的 Stable Diffusion"开源工作。

- Structured Latent (SLAT)：把 3D 资产编码到 voxel 上的稀疏 latent grid——既保留空间结构（适合 sparse conv / sparse attention），又紧凑（仅 active voxel 存 latent）
- 3D VAE：把 mesh + texture (signed distance field 派生) → SLAT
- Flow matching prior：在 SLAT 上跑 rectified flow，conditioned on text/image
- 多 decoder：从 SLAT decode 出 NeRF / 3DGS / mesh 三种表示（同一 latent，可选输出格式）
- 训练数据：Objaverse-XL 子集 + 内部高质量集
- 效果：text-to-3D / image-to-3D，几秒到几十秒，质量超过 SDS 系列

### 8.2　Hunyuan3D-1 / -2 (Tencent 2024-25, 开源)

Hunyuan3D 走 shape-then-texture 两阶段路线。

- Hunyuan3D-1 (Yang 2024 arXiv)：

  - Stage 1: text/image → multi-view image (Zero-1-to-3 系)
  - Stage 2: multi-view → 3D mesh (LRM-like reconstructor)
  - 几秒到几十秒输出 textured mesh

- Hunyuan3D-2 (Tencent 2025, arXiv 2501.12202)：

  - Hunyuan3D-DiT：geometry-only DiT 在 SDF latent 上生成 mesh
  - Hunyuan3D-Paint：multi-view PBR texture diffusion，UV space refinement
  - 高质量 PBR texture（实战可用于游戏 / VR 资产）
- 开源：HuggingFace 上完整权重 + 推理代码

### 8.3　CLAY (Zhang 2024 SIGGRAPH)

- 3DShape2VecSet latent diffusion：把 mesh 表示为 vector set + cross-attention DiT
- 大规模训练（Objaverse-XL + 内部清洗集）
- 输出 SDF → marching cubes → mesh
- 加 PBR texture stage（类似 Hunyuan3D-2）

Rodin (Microsoft 2023, 商业)：早期 text-to-3D-avatar 产品级系统，diffusion on triplane，主打 character / avatar。

### 8.4　对比表

方法 | 表示 | Prior | 训练规模 | 开源
--- | --- | --- | --- | ---
Trellis | Structured Latent (SLAT) + 多 decoder | Rectified Flow | Objaverse-XL 子集 | ✅
Hunyuan3D-2 | SDF latent (Shape DiT) + UV texture diff | Diffusion | 内部大规模集 | ✅
CLAY | 3DShape2VecSet | Diffusion | Objaverse-XL + 内部 | 部分
Rodin | Triplane | Diffusion | 商业内部 | ❌
TripoSR / SF3D | NeRF/mesh feedforward | 无 prior，纯 regression | Objaverse 类 | ✅

架构选择直觉

大 scene / general object 用 Trellis 风格 SLAT（保留空间结构）；高质量 single mesh 用 CLAY 风格 vector set（紧凑、global attention）；快速推理用 LRM/TripoSR feedforward（不做 diffusion，直接 regress）。

## §9 复杂度 / 资源对比

方法 | 训练 | 推理 (一帧) | 显存 (训练) | 显存 (模型)
--- | --- | --- | --- | ---
NeRF vanilla | 1-2 天 | 数秒 | 8 GB | <10 MB MLP
Instant-NGP | 5 秒 - 5 分钟 | 30 fps+ | 4-12 GB | 100-500 MB hash
3DGS | 10-30 分钟 | 100 fps+ | 6-24 GB | 100 MB - 1 GB Gaussian
2DGS | 与 3DGS 接近 | 与 3DGS 接近 | 类似 | 类似
DreamFusion (NeRF+SDS) | 2 hr / 物体 | — | 12 GB | NeRF 本身
DreamGaussian (3DGS+SDS) | 2 分钟 / 物体 | — | 8-16 GB | —
ProlificDreamer (VSD) | 3-6 hr / 物体 | — | 24 GB | —
TripoSR feedforward | 训练 50 GPU 天 | 0.5 秒 (A100) | inference 6 GB | 1.5 GB
Trellis | 训练 100+ GPU 天 | 数秒 | inference 16 GB | 数 GB
Hunyuan3D-2 | 训练大集群 | 数十秒 | inference 24+ GB | 多模型组合

## §10 与相关方法对比 & Embodied AI 应用

### 10.1　3D-vs-2D 生成关键区别

维度 | 2D 生成 (Stable Diffusion) | 3D 生成
--- | --- | ---
数据量 | LAION-5B 50亿图 | Objaverse-XL 1000万件（小 500×）
数据格式 | 图像（统一 RGB） | mesh / SDF / point cloud / NeRF / 3DGS（碎片化）
训练 prior | 直接 train diffusion | 用 2D diffusion 蒸馏 (SDS / Zero-1-to-3) 或 用 3D-native diffusion (Trellis / CLAY)
评测 | FID, CLIP score | Chamfer / IoU / PSNR (recon) + perceptual + user study
下游 | 直接出图 | 出资产 → 渲染 / 仿真 / 编辑

### 10.2　Embodied AI / AR / VR 实战路线

任务 | 推荐表示 | 关键工具链 / 约束
--- | --- | ---
Sim2Real 资产 | mesh (PBR) | Trellis / Hunyuan3D-2 → IsaacSim / MuJoCo
室内大场景 | 3DGS | COLMAP → 3DGS（chunk-wise 用 VastGS / CityGS）
NeRF/3DGS as simulator | NeRF / 3DGS + physics | DreamGaussian-Sim / Splatting Physics
3D affordance / manipulation | point cloud / 3DGS feature | OpenScene / LERF / RVT / 3D Diffuser Actor
AR 物体扫描 | 3DGS（光照真实 + 实时） | mobile 算力（PostShot / Luma），剪枝 / 量化
VR 大场景 | 3DGS (large-scale) | 60 fps stereo + 6DoF
Avatar | mesh + LBS 或 3DGS avatar | 实时表情 / 头发
Object insertion | mesh + PBR | 环境光照一致（IBL）

Embodied AI 面试追问示例

"做 NeRF 物理仿真器最大挑战？" 要点：NeRF 是 radiance，没 mass / friction → 需手动叠物理 prior；mesh 提取有 floater → 碰撞检测难；可微但 backward 慢；业界更多用 3DGS / mesh 而非 vanilla NeRF。

## §11 工程实战 & 易踩坑

### 11.1　COLMAP / SfM 前处理（重建必经）

输入多视图 → 输出内参 $K$ + 外参 $\{R_i, t_i\}$ + 稀疏点云；标准流程 SIFT → matching → incremental SfM → bundle adjustment。常见坑：texture-less / 镜面物体 SfM 失败；动态物体污染外参。

### 11.2　数值稳定（NeRF/3DGS 通用）

问题 | 症状 | 修复
--- | --- | ---
Sigma 爆炸 | floater 充斥空间 | $\sigma$ 用 softplus 或 truncated；occupancy grid skip
Alpha 饱和 | 1-α 下溢 → T 全 0 | `(1-α).clamp(min=1e-10)` 或 log-space cumprod
Gaussian 退化 | 极小 scale / 极大 anisotropy | clamp scale lower bound；regularize anisotropy
Densify 爆炸 | Gaussian 数量飙到内存上限 | 加 max gaussian 数；周期 prune；reset opacity
SDS Janus | 多视角脸 / 头 | 加 view-conditioning（"front view" / "back view"）；MVDream
SDS over-sat | 颜色饱和 | CFG 降低；改用 VSD；或 negative prompt

### 11.3　多机分布式 & 评测指标

分布式：NeRF / Instant-NGP / 3DGS 单 GPU 标准；大场景 3DGS 用 chunk-wise (VastGaussian, CityGaussian)；SDS/VSD 每 iter 跑 2 次 SD forward，8×A100 可显著提速；Trellis / Hunyuan3D 训练是大规模 multi-node DDP。

评测指标 | 用途 | 算法
--- | --- | ---
PSNR / SSIM / LPIPS | 视图合成（重建） | 与真实视图对比
Chamfer Distance | mesh 几何 | 两点云最近邻距离平均
F-Score (3D) | mesh / point | precision + recall under threshold
CLIP Score / CLIP-R-Prec | text-to-3D 对齐 | render → CLIP 相似度 / 区分干扰 prompt
User study | 最终质量 | MTurk / lab-internal

## §12 25 高频面试题

按难度分 3 档（L1 必会 / L2 进阶 / L3 顶级 lab）。每题点开看答案要点 + 易踩坑。

### L1 必会题（任何 3D / vision 岗都会问）

Q1.NeRF 体渲染公式？

- $C(\mathbf{r}) = \int T(t)\sigma(\mathbf{r}(t))\mathbf{c}(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})dt$
- $T(t) = \exp(-\int_{t_n}^t\sigma\,ds)$ 是透射率
- 离散化 → $\alpha$-compositing：$C \approx \sum T_i\alpha_i \mathbf{c}_i$，$\alpha_i = 1 - e^{-\sigma_i\delta_i}$

只写 $\sum \alpha_i \mathbf{c}_i$ 漏 $T_i$；或把 $\alpha_i$ 写成 $\sigma_i\delta_i$（一阶近似但严格错）。

Q2.为什么 NeRF 要 positional encoding？

- MLP 默认低频偏置（NTK 分析）
- $\gamma(p) = (\sin 2^k\pi p, \cos 2^k\pi p)_{k=0}^{L-1}$ 提供高频 basis
- 直接学 $(x,y,z) \to (\sigma,\mathbf{c})$ 出来的图糊；加 PE 后高频细节恢复

误以为 PE 是给 MLP 加位置（其实是给空间频率谱），或弄反 $\mathbf{x}$ vs $\mathbf{d}$ 的频率级数（$L=10$ vs $L=4$）。

Q3.NeRF 的 hierarchical sampling 是什么？

- 两个网络：coarse + fine
- coarse 均匀采 64 点，渲染得 weights $w_i = T_i\alpha_i$
- 把 $w$ 归一化为 PDF，按重要性采 128 个 fine 点（密集采在表面）
- Loss 同时监督两网络

说"只采一次更密集"——错过了 importance sampling 的核心。

Q4.Instant-NGP 为什么比 NeRF 快 5+ OOM？

- Hash 网格替代密集 grid：固定 $T$ 大小哈希表，cache-friendly
- Tiny MLP (2 层 hidden 64) 替代大 MLP（NeRF 8 层 256）
- 多分辨率级联 + occupancy grid skip 空白区采样
- CUDA fused kernel（tiny-cuda-nn）

只说"用了哈希"——漏了 multi-resolution + tiny-MLP + occupancy skip 的组合贡献。

Q5.3DGS 的"高斯"是怎么定义的？

- 每个 Gaussian $G_i = (\mu_i, \Sigma_i, \alpha_i, c_i(\mathbf{d}))$
- $\mu \in \mathbb{R}^3$ 位置，$\Sigma \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ 协方差
- $\Sigma = R S S^\top R^\top$ 分解（$R$ 用四元数，$S$ 用对角 + $\exp$），保证半正定
- $c(\mathbf{d})$ 用球谐 SH 系数（$\ell = 3$，48 参数）

只说"高斯分布"——漏了协方差参数化技巧 + SH color。

Q6.3DGS 渲染怎么做？

- 把 3D Gaussian 投影到 2D（$\Sigma' = JW\Sigma W^\top J^\top$）
- 按深度排序
- Front-to-back alpha-blending（与 NeRF $\alpha$-compositing 同源）
- 实际是 tile-based + CUDA radix sort

只说"光栅化"，不提投影 Jacobian / 排序 / alpha-blend。

Q7.3DGS 的 densification 怎么做？

- 高梯度 + 小 scale → clone（under-reconstruction）
- 高梯度 + 大 scale → split（over-reconstruction）
- 低 opacity 或过大 screen-size → prune
- 周期性 reset opacity 防 floater

把 clone 和 split 弄反；忘了 reset 这步。

Q8.NeRF vs 3DGS 对比？

- NeRF：隐式 (MLP)，渲染慢（ray march），editing 难
- 3DGS：显式（点云），渲染快（rasterize），editing 易
- 质量：3DGS PSNR 通常 ≥ NeRF；NeRF 在体积效应（烟雾 / 半透明）更好
- 业界趋势：3DGS 主流，NeRF research-only

把两者当不可比较的不同事物——其实都是 volumetric scene rep，3DGS 是 explicit version of NeRF。

Q9.Marching Cubes 是什么？

- 输入 3D 标量场 + 阈值，输出三角网格
- 每 voxel 8 角点二值化（高/低于阈值）→ 256 种 lookup table
- Edge 上线性插值定顶点位置
- 不可微（lookup 离散）

说"找等高线"——MC 是 3D，等高线是 2D Marching Squares 的事。

Q10.SDS 大致是什么？

- 用 pretrained 2D diffusion (Stable Diffusion) 监督 3D 表示
- 渲染 $x = g(\theta, \pi)$，加噪 $x_t$，问 diffusion "这是 $y$ 的图吗"
- gradient $\propto (\epsilon_\phi(x_t; y) - \epsilon)\cdot \partial x/\partial \theta$
- DreamFusion (Poole et al. 2022 arXiv → ICLR 2023 Outstanding Paper) 提出

只说"用 SD 训 NeRF"，漏了 SDS gradient 的特殊形式（去掉 U-Net Jacobian）。

### L2 进阶题（research-oriented 岗位）

Q11.推导 NeRF 连续积分 → 离散 $\alpha$-compositing。

- $T$ 满足 $dT/dt = -\sigma T$，段内 $\sigma$ 常数 → $T(t_{i+1})/T(t_i) = e^{-\sigma_i\delta_i}$
- 段内颜色贡献 $\int_0^{\delta_i} T_i e^{-\sigma_i s}\sigma_i \mathbf{c}_i\,ds = T_i\mathbf{c}_i(1 - e^{-\sigma_i\delta_i})$
- 记 $\alpha_i = 1 - e^{-\sigma_i\delta_i}$，则 $C \approx \sum T_i\alpha_i \mathbf{c}_i$，$T_i = \prod_{j

把 $\alpha_i$ 写成 $\sigma_i\delta_i$ 而非 $1 - e^{-\sigma_i\delta_i}$；或省了 ODE 求解过程。

Q12.推导 3DGS 的 3D→2D 投影 Jacobian。

- 透视投影 $\pi(\mathbf{x}) = (f_x x/z, f_y y/z)$ 非线性
- 一阶 Taylor：$\pi(\mathbf{x}) \approx \pi(\mu) + J(\mathbf{x}-\mu)$
- $J = \partial\pi/\partial\mathbf{x}|_\mu = \begin{pmatrix} f_x/z & 0 & -f_x x/z^2 \\ 0 & f_y/z & -f_y y/z^2 \end{pmatrix}$
- $\Sigma' = JW\Sigma W^\top J^\top$（$W$ 是 world→cam 旋转）

直接套 "covariance projection" 公式不推；或忘了 $W$ 这步（World→Cam 旋转）。

Q13.Instant-NGP 的 hash collision 如何消歧？

- Multi-resolution 冗余：粗 level $N_\ell^d \le T$ 不冲突，细 level 才冲突；MLP 可从粗-fine 共同推
- 稀疏激活：有效 supervision 集中在 surface 附近；空白区冲突 entry 无梯度
- MLP 后处理：在 $L\times F$ 拼接特征上学非线性融合，可 disambiguate
- 没有 explicit collision resolution；靠"lazy resolution by sparsity + redundancy"

以为有 hash chaining 之类的传统消歧——实际是数据驱动 implicit 消歧。

Q14.SDS gradient 漏了哪项 Jacobian？为什么？

- Naive diffusion training grad：$(\epsilon_\phi - \epsilon)\cdot \partial \epsilon_\phi/\partial x_t \cdot \alpha_t \cdot \partial x/\partial \theta$
- SDS 把 $\partial \epsilon_\phi/\partial x_t$ U-Net Jacobian 扔掉
- 直觉：(1) 计算昂贵；(2) U-Net 没训练 second-order 稳定 → Jacobian 噪声大
- 代价：SDS 变成 mode-seeking KL，需要大 CFG (100) 才能逃 mean-mode → over-saturation

只说"为了简化"不说后果。或不知道 mode-seeking 是 KL 方向决定的。

Q15.VSD 如何缓解 SDS 的 over-saturation？

- SDS：拉向 prior $p_\phi$ 的 mode；需 CFG=100 强化 → over-saturation
- VSD：把 3D 参数 $\theta$ 视为 random variable $\mu(\theta)$，最小化 KL(rendered dist || prior)
- 引入辅助 score $\epsilon_\psi$（LoRA 微调 SD）跟踪当前 $\mu$ 的 score
- gradient = $(\epsilon_\phi - \epsilon_\psi)\cdot \partial x/\partial \theta$ —— relative score，不需大 CFG
- 类似 RL actor-critic 用 value baseline 减方差

说 VSD 用 "variational" 但讲不清 $\epsilon_\psi$ 替代 raw noise 的角色。

Q16.Zero-1-to-3 / SyncDreamer / MVDream 区别？

- Zero-1-to-3 (Liu 2023 ICCV)：input view + 相机 $\Delta R, \Delta T$ → single novel view；每次独立 sample
- Zero-1-to-3++ (Shi 2023)：固定 6 个 anchor view，一次出多张（减 randomness）
- SyncDreamer (Liu 2024 ICLR)：在 latent 上联合预测多视图，cross-attention 让 views 互看 → 一致性更好
- MVDream (Shi 2024 ICLR)：text-to-multi-view（不需要 input image），4 视图同生成 + SDS 精化

只说"都是 novel view"——漏了独立 vs 联合 vs text-only 这条主线。

Q17.Mip-NeRF 怎么抗锯齿？

- Vanilla NeRF 把像素当 ray；不同分辨率下同像素对应不同尺度 → aliasing
- Mip-NeRF 把像素当 cone（视锥），cone 段近似 anisotropic Gaussian
- IPE (Integrated Positional Encoding)：$\mathbb{E}_{\mathbf{x}\sim\mathcal{N}(\mu,\Sigma)}[\gamma(\mathbf{x})]$ 有闭式解
- 高频系数被 $\Sigma$ 衰减 → multi-scale 自动平滑

只说"用 cone"，不讲 IPE 的高频衰减作用。

Q18.NeuS vs vanilla NeRF 提 mesh 的差别？

- vanilla NeRF：density 没明确 surface，提 mesh 要选 $\sigma$ 阈值（不稳）
- NeuS (Wang 2021 NeurIPS)：用 SDF $d(\mathbf{x})$ 替换 density，定义 $\sigma$ via sigmoid 导数
- 表面 = $\{d = 0\}$，良好定义
- Marching Cubes 直接对 SDF 跑，质量明显更好

直接说"用 SDF"，但不讲 NeuS 怎么把 SDF 接到 NeRF 体渲染里。

Q19.LRM 系列（TripoSR / InstantMesh）核心？

- Triplane 表示：3 个轴对齐 2D 平面，$O(N^2)$ 显存
- Transformer 把图像 token + Plucker ray embedding → regress triplane tokens
- 推理 feedforward（无 SDS / 无 iterative 优化），0.5-3 秒 出 3D
- TripoSR (Stability+Tripo 2024) / InstantMesh (Xu 2024) / SF3D (2024) 都属此族

把它们当成 SDS 系列——错，LRM 完全 feedforward；不算 distillation。

Q20.3DGS 怎么提 mesh？

- vanilla 3DGS 不友好（ellipsoid 不是 surface）
- SuGaR (Guédon 2024 CVPR)：surface alignment loss + Poisson reconstruction
- 2DGS (Huang 2024 SIGGRAPH)：把 ellipsoid 退化为 2D disk，对齐表面 → MC 提 mesh 更稳
- GSDF (Yu 2024)：joint train SDF head 与 3DGS

说"直接 MC"——3DGS 没有 density 场，直接 MC 不 work；必须先 surface-align。

### L3 顶级 lab 题（顶会 / industry 研究岗）

Q21.手推 NeRF 离散 $\alpha$-compositing。

- ODE $dT/dt = -\sigma(t) T(t)$，初值 $T(t_n) = 1$ → $T(t) = \exp(-\int_{t_n}^t \sigma\,ds)$
- 段内 $[t_i, t_{i+1}]$ 上 $\sigma$ 常数 $= \sigma_i$，所以 $T(t_{i+1}) = T(t_i)e^{-\sigma_i\delta_i}$
- 段间累积 $T_i = T(t_i) = \prod_{j
- 段内颜色贡献 $\int_{t_i}^{t_{i+1}} T(t)\sigma_i\mathbf{c}_i\,dt = \mathbf{c}_i T_i \int_0^{\delta_i}\sigma_i e^{-\sigma_i s}ds = T_i\mathbf{c}_i(1 - e^{-\sigma_i\delta_i}) = T_i\alpha_i\mathbf{c}_i$
- 合成 $C \approx \sum_i T_i\alpha_i \mathbf{c}_i$
- 关键：$\alpha_i = 1 - e^{-\sigma_i\delta_i}$ 严格 vs $\alpha_i \approx \sigma_i\delta_i$ 一阶近似（在 $\sigma\delta \ll 1$ 时一致）

省略 ODE 推导直接套结论；或在 $\sigma\delta$ 大时用 $\sigma_i\delta_i$ 替 $\alpha_i$ 出错。

Q22.Instant-NGP hash collision 如何被 MLP 自动消歧？

- 冲突发生场景：fine level 的格点数 $N_\ell^d > T$（hash 表大小），多个格点映到同一 entry
- 稀疏激活：场景大部分 voxel 是 background，仅 surface 附近 voxel 有非零监督梯度——冲突的"两个 background entry"得不到信号，互不污染
- 多分辨率冗余：粗 level $N_\ell^d \le T$ 保证 unique；细 level 提供 detail。即使细 level 冲突，粗 level 的非冲突特征已唯一识别该点
- MLP 后处理：tiny MLP 在 $L\times F$ 拼接特征上学非线性融合，遇到冲突 entry 时可以用其他 level 的非冲突特征 disambiguate
- 梯度自动调节：训练时高梯度自然集中在 surface entry；冲突 entry 若同时在表面（罕见）会被 loss 推到妥协位置（取多次采样平均）
- 物理直觉：与其代价昂贵地搞 perfect hash，不如允许冲突 + 用数据驱动 implicit 消歧（"lazy collision resolution"）

说"哈希冲突由 MLP 解决"但讲不清是哪些 mechanism（稀疏性 + 多尺度 + MLP 非线性）共同作用。

Q23.推导 3DGS 3D→2D 协方差投影 Jacobian。

- World → Camera：刚体变换 $\mathbf{x}_\text{cam} = W\mathbf{x} + t$；协方差只受旋转影响，$\Sigma_\text{cam} = W\Sigma W^\top$
- Camera → Screen：透视投影 $\pi(x, y, z) = (f_x x/z, f_y y/z)$ 非线性
- 在均值 $\mu_\text{cam}$ 处一阶 Taylor：$\pi(\mathbf{x}) \approx \pi(\mu_\text{cam}) + J(\mathbf{x} - \mu_\text{cam})$，$J = \partial\pi/\partial\mathbf{x}|_{\mu_\text{cam}}$
- $J = \begin{pmatrix} f_x/z & 0 & -f_x x/z^2 \\ 0 & f_y/z & -f_y y/z^2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 3}$
- $\text{Cov}[\pi(\mathbf{x})] = J\Sigma_\text{cam} J^\top = JW\Sigma W^\top J^\top \in \mathbb{R}^{2\times 2}$
- 这是 EWA splatting (Zwicker 2001) 的经典推论；3DGS 直接沿用
- 实际实现还加 $0.3 I$ low-pass filter（anti-aliasing）

不会做一阶 Taylor 把非线性投影线性化；或漏了 World→Cam 那步。

Q24.SDS gradient 丢掉哪项 Jacobian？为什么"反而 work"？

- Naive diffusion training gradient：

  $\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{diff} = \mathbb{E}[w(t)\cdot 2(\epsilon_\phi - \epsilon)\cdot \underbrace{\partial \epsilon_\phi/\partial x_t}_{\text{U-Net Jacobian}}\cdot \alpha_t \cdot \partial x/\partial\theta]$

- SDS 扔掉 U-Net Jacobian $\partial \epsilon_\phi/\partial x_t$：

  $\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{SDS} = \mathbb{E}[w(t)(\epsilon_\phi - \epsilon)\cdot \partial x/\partial\theta]$

- 为什么扔掉 reasonable：

  - U-Net Jacobian 计算昂贵（H×W×3 输入 → H×W×3 输出的 second-order）
  - U-Net 没训练 second-order 稳定，Jacobian 数值差
  - $(\epsilon_\phi - \epsilon)$ 本身就是 score 的代理（$\epsilon_\phi/\sigma_t \approx -\nabla_{x_t}\log p_\phi$），扔掉 Jacobian 相当于用 first-order score 信号
- 代价：SDS 数学上等价 mode-seeking KL（往 prior 的 mode 跑），加大 CFG (100) 才能逃出 mean-blur
- 症状：over-saturation（颜色饱和）+ Janus（多视角同一面孔）+ over-smoothing（细节糊）

只说"为简化扔了 Jacobian"，不解释 mode-seeking 后果 + 为什么需要大 CFG。

Q25.VSD 为什么能在小 CFG 下避免 over-saturation？

- SDS 视角：把 $\theta$ 当点估计；gradient 拉向 $p_\phi(\cdot|y)$ mode；大 CFG 让 mode 更尖 → over-saturation
- VSD 视角：把 $\theta$ 当 random variable $\mu(\theta)$；最小化的是渲染加噪图像分布之间的 KL：$\mathbb{E}_t[D_\text{KL}(q_\mu^t(x_t|y) \,\|\, p_\phi^t(x_t|y))]$（不是直接在 $\theta$ 域上对一个 3D prior 求 KL）
- 引入辅助 score $\epsilon_\psi$（用 LoRA 微调 Stable Diffusion）跟踪当前 rendered 分布的 score

- VSD gradient：

  $\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{VSD} = \mathbb{E}[w(t)(\epsilon_\phi - \epsilon_\psi)\cdot \partial x/\partial \theta]$

  即 relative score（target prior score $-$ current rendered score）

- 几何直觉：从"我现在在哪"指向"prior 在哪"——是局部"梯度方向"而非全局 mode；不需大 CFG 锐化
- 类比 RL：actor-critic 用 value baseline 减方差；VSD 用 $\epsilon_\psi$ 作为 baseline 减 SDS 噪声
- 效果（ProlificDreamer）：CFG 可降至 7.5，颜色自然；几何更细；可维护多 mode（多样性）

只说"VSD 引入变分推断"不讲 $\epsilon_\psi$ 角色 + relative gradient 视角。

## §A 附录：代码完整骨架 + 参考文献

### A.1　完整 from-scratch 代码包含

`volume_render()` (NeRF α-compositing 含数值稳定) · `positional_encoding()` (γ(p) Fourier features) · `gaussian_splat_forward()` (3DGS 教学版前向 + 投影 Jacobian) · `densify_and_prune()` (3DGS densification 启发式) · `sds_loss()` (SDS gradient surrogate) · `marching_cubes_sketch()` (mesh 提取接口，用 scikit-image)。

### A.2　关键论文 reading list

- NeRF 系：Mildenhall 2020 ECCV (HM); Müller Instant-NGP SIGGRAPH 2022 Best; Barron Mip-NeRF / 360 ICCV 2021 / CVPR 2022; Wang NeuS + Yariv VolSDF NeurIPS 2021; Fridovich-Keil Plenoxels CVPR 2022; Chen TensoRF ECCV 2022.
- 3DGS 系：Kerbl 3D Gaussian Splatting SIGGRAPH 2023 Best; Huang 2D Gaussian Splatting SIGGRAPH 2024; Luiten Dynamic 3DGS 3DV 2024; Wu 4DGS CVPR 2024; Guédon SuGaR CVPR 2024.
- Mesh / SDF：Shen DMTet NeurIPS 2021 / FlexiCubes SIGGRAPH 2023.
- SDS 系：Poole DreamFusion arXiv 2022.09 → ICLR 2023 Outstanding; Wang ProlificDreamer (VSD) NeurIPS 2023 Spotlight; Lin Magic3D CVPR 2023; Chen Fantasia3D ICCV 2023; Tang DreamGaussian ICLR 2024; Yi GaussianDreamer CVPR 2024.
- Single-image 3D：Liu Zero-1-to-3 ICCV 2023 / One-2-3-45 NeurIPS 2023 / SyncDreamer ICLR 2024; Shi Zero-1-to-3++ arXiv 2023 / MVDream ICLR 2024; Hong LRM arXiv 2023.11 → ICLR 2024; Tochilkin TripoSR arXiv 2024; Xu InstantMesh arXiv 2024; Boss Stable Fast 3D arXiv 2024.
- 3D Foundation Models：Xiang Trellis arXiv 2024 (Microsoft); Tencent Hunyuan3D-2 arXiv 2501.12202 (2025); Zhang CLAY SIGGRAPH 2024.

### A.3　Embodied AI / AR / VR 常见追问

3DGS 接物理引擎 → 先 2DGS / SuGaR 提 mesh → IsaacSim / MuJoCo；NeRF 动态化 → 4DGS / D-NeRF / K-Planes；AR 实时 3DGS → mobile-friendly (PostShot, Luma) + 剪枝 / 量化；3D 数据不足 → Objaverse-XL (Trellis) 或 2D 蒸馏 (DreamFusion 系) 或 multi-view 启发式 (MVDream)。

3D Generation Quick Reference · 主要参考：Mildenhall 2020 (NeRF), Müller 2022 (Instant-NGP), Kerbl 2023 (3DGS), Poole 2022/ICLR 2023 (DreamFusion), Wang 2023 (VSD), Xiang 2024 (Trellis), Tencent 2025 (Hunyuan3D-2). 涵盖：NeRF 体渲染推导、Instant-NGP hash 网格、3DGS 投影 Jacobian、SDS / VSD 梯度推导、single-image 3D、3D foundation models。Embodied AI / AR / VR 必备。