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tags: [AI, Math, Physics, Quantum]
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# Quantum Mechanics

薛定谔方程:
$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi$

狄拉克方程:
$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -i\hbar{c}\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi + \beta{mc^2}\psi$,
$(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0$

| 特征维度      | Schrödinger Equation                      | Dirac Equation                                          |
| ------------- | ----------------------------------------- | ------------------------------------------------------- |
| 物理背景      | 经典力学 (牛顿体系) 量子化                | 狭义相对论 (爱因斯坦体系) 量子化                        |
| 推导公式      | $E = \frac{p^2}{2m} + V$                  | $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$                                 |
| 算符阶数      | 不对等: $\partial_t$, $\nabla^2$          | 平权 (对称): $\partial_\mu$ 符合相对论时空观            |
| 波函数 $\psi$ | 标量 (Scalar): 复数函数                   | 旋量 (Spinor): 4 分量向量 (包含自旋向上/下 + 正/反粒子) |
| 核心贡献      | 揭示了电子的`概率云`分布                  | 理论上预言了`自旋`和`反物质`的存在                      |
| 适用场景      | 低速微观世界 (原子结构、化学反应、半导体) | 高速/高能微观世界 (粒子对撞、宇宙射线、精细光谱)        |
