Here is the short solution:
设过 M ( 0 , 1 ) 的直线为 y = kx + 1 ，与椭圆
x 2 + y 2 4 = 1
交于 (A,B) 。
代入得
( k 2 + 4 ) x 2 + 2kx − 3 = 0
设两根为 x 1 , x 2 ，则
x 1 + x 2 = − 2k k 2 + 4 , y 1 + y 2 = k ( x 1 + x 2 ) + 2 = 8 k 2 + 4
又
P ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 )
所以
x = − k k 2 + 4 , y = 4 k 2 + 4
消去 k 得
4x 2 + ( y − 1 2 ) 2 = 1 4
再求
N ( 1 2 , 1 2 )
到轨迹上的点 P(x,y) 的距离。
由轨迹方程可设
4x 2 + ( y − 1 2 ) 2 = 1 4
令
x = 1 4 cosθ , y − 1 2 = 1 2 sinθ
则
|NP| 2 = ( 1 4 cosθ − 1 2 ) 2 + ( 1 2 sinθ ) 2 = 1 2 − 1 4 cosθ − 3 16 cos 2 θ
设 t = cosθ ∈ [ −1 , 1 ] ，则
|NP| 2 = 1 2 − 1 4 t − 3 16 t 2
• 当 t = − 2 3 时取最大值：
|NP| 2 max = 7 12 ⇒ |NP| max = 21 6
• 比较端点：
t = 1 ⇒ |NP| 2 = 1 16 , t = − 1 ⇒ |NP| 2 = 9 16
所以
|NP| min = 1 4
答案：
P的轨迹方程 4x 2 + ( y − 1 2 ) 2 = 1 4
|NP| min = 1 4 , |NP| max = 21 6