3D Generation 面试 Cheat Sheet

§0 TL;DR Cheat Sheet

1. 三大表示：NeRF（隐式神经场 + 体渲染）、3DGS（显式 Gaussian 点云 + 光栅化）、Mesh / SDF（显式表面 / 隐式距离场）。重建质量与速度的 sweet spot：3DGS（Kerbl 2023 SIGGRAPH Best Paper）。
2. NeRF 核心公式：$C(\mathbf{r}) = \int_{t_n}^{t_f} T(t)\sigma(\mathbf{r}(t))\mathbf{c}(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})\,dt$，其中 $T(t) = \exp\!\left(-\int_{t_n}^{t}\sigma(\mathbf{r}(s))\,ds\right)$ 是 transmittance。离散化得到 $\alpha$-compositing：$C \approx \sum_i T_i (1-e^{-\sigma_i\delta_i})\mathbf{c}_i$。
3. Instant-NGP (Müller 2022 SIGGRAPH)：多分辨率 hash 网格 + tiny MLP，5+ OOM 加速；hash collision 由 MLP 在含碰撞表项上自动学习消歧（被 loss + 多尺度冗余共同压制）。
4. 3DGS 核心：场景表示为一组 3D Gaussian $\{\mu_i, \Sigma_i, \alpha_i, c_i(\mathbf{d})\}$，可微光栅化通过将 3D 协方差用 Jacobian $J$ 投影到 2D：$\Sigma' = J W \Sigma W^\top J^\top$，按深度排序后做 front-to-back alpha-blending。
5. DreamFusion SDS (Poole et al. 2022 arXiv → ICLR 2023 Outstanding)：用 pretrained 2D diffusion 监督 3D 表示：$\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{SDS} = \mathbb{E}_{t,\epsilon}[w(t)(\epsilon_\phi(x_t;y,t)-\epsilon)\,\partial x/\partial \theta]$，故意去掉 U-Net 对 $x_t$ 求导的 Jacobian 项，使得训练 simulation-free。代价：mode-seeking → over-saturation / Janus。
6. VSD (Wang 2023 NeurIPS, ProlificDreamer)：把 3D 参数 $\theta$ 视为 random variable $\mu(\theta)$，最小化的是渲染加噪图像分布之间的 KL：$\mathbb{E}_t\big[D_\text{KL}\big(q_\mu^t(x_t|y)\,\|\,p_\phi^t(x_t|y)\big)\big]$。梯度形式为 relative score $\nabla_\theta \approx (\epsilon_\phi(x_t;y,t) - \epsilon_\psi(x_t;y,t,\pi))\,\partial x/\partial\theta$，其中 $\epsilon_\psi$ 是 LoRA 微调的辅助 score。CFG 可从 100 降至 7.5。
7. Single-image / Few-view 3D：Zero-1-to-3 (Liu 2023 ICCV) 用 viewpoint conditioned diffusion；SyncDreamer / MVDream 学多视图联合一致性；TripoSR / InstantMesh / Stable Fast 3D 把 image-to-mesh 推到 ≤3 秒。
8. 3D Foundation Models (2024-25 开源)：Trellis (Microsoft 2024) 用 structured latent + flow matching；Hunyuan3D-2 (Tencent 2025) shape→texture 两阶段；CLAY (Zhang 2024 SIGGRAPH) 大尺度 latent diffusion + 3DShape2VecSet。
9. Embodied AI 关键应用：Sim2Real 资产生成、NeRF/3DGS 作为可微 simulator、language-conditioned 3D affordance。面试常见交叉：NeRF SLAM、Gaussian-Splat scene editing、3D 物理一致性。

§1 三大表示的直觉对比

3D 生成的第一选择题是 representation——选错了下游全废。

§2 NeRF：体渲染原理推导（必考）

2.1　连续体渲染公式

NeRF (Mildenhall 2020 ECCV Best Paper Honorable Mention) 把场景表示为 5D 神经场 $f_\theta : (\mathbf{x}, \mathbf{d}) \to (\sigma, \mathbf{c})$：

• 输入：3D 位置 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$ + 视角方向 $\mathbf{d} \in \mathbb{S}^2$
• 输出：体密度 $\sigma \ge 0$（与方向无关）+ 颜色 $\mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$（依赖方向，捕捉镜面反射）

对相机射线 $\mathbf{r}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d}$，沿 $t \in [t_n, t_f]$ 体积分得到像素颜色：

$$\boxed{\;C(\mathbf{r}) = \int_{t_n}^{t_f} T(t)\,\sigma(\mathbf{r}(t))\,\mathbf{c}(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})\,dt\;}$$

其中 transmittance（光线从 $t_n$ 到 $t$ 没被遮挡的概率）：

$$\boxed{\;T(t) = \exp\!\left(-\int_{t_n}^{t}\sigma(\mathbf{r}(s))\,ds\right)\;}$$

2.2　为什么是这个形式？— 从物理推导

考虑光线穿过参与介质（participating medium）。在 $[t, t+dt]$ 段内：

• 被吸收 / 散射出射线的概率：$\sigma(\mathbf{r}(t))\,dt$
• 介质在该点发射的颜色贡献：$\mathbf{c}(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})$

令 $T(t)$ 为光线从 $t_n$ 到 $t$ 仍存活的概率。从 $t \to t + dt$，存活概率变化：

$$T(t+dt) = T(t)\,(1 - \sigma\,dt) \;\Rightarrow\; \frac{dT}{dt} = -\sigma(t)\,T(t)$$

这是一个一阶 ODE，初值 $T(t_n) = 1$，解出：

$$T(t) = \exp\!\left(-\int_{t_n}^{t}\sigma(\mathbf{r}(s))\,ds\right)$$

每个深度 $t$ 处贡献到像素的颜色 = 存活概率 × 该处吸收概率 × 该处颜色：

$$dC = T(t)\,\sigma(t)\,\mathbf{c}(t)\,dt$$

积分即得 $C(\mathbf{r})$。

2.3　离散化：$\alpha$-compositing（必考推导）

实际无法做连续积分，把 $[t_n, t_f]$ 切成 $N$ 段，每段间距 $\delta_i = t_{i+1} - t_i$，假设段内 $\sigma, \mathbf{c}$ 为常数 $\sigma_i, \mathbf{c}_i$。

段内 transmittance 衰减：在 $[t_i, t_{i+1}]$ 上 $T$ 满足 $dT/dt = -\sigma_i T$，所以

$$\frac{T(t_{i+1})}{T(t_i)} = e^{-\sigma_i \delta_i}$$

由此段间 transmittance：

$$T_i := T(t_i) = \prod_{j=1}^{i-1} e^{-\sigma_j \delta_j} = \exp\!\Big(\!-\!\sum_{j=1}^{i-1}\sigma_j\delta_j\Big)$$

段内颜色贡献（积分而非简单矩形）：

$$\int_{t_i}^{t_{i+1}} T(t)\sigma_i\mathbf{c}_i\,dt = T_i\,\mathbf{c}_i \int_0^{\delta_i} \sigma_i e^{-\sigma_i s}\,ds = T_i\,\mathbf{c}_i\,(1 - e^{-\sigma_i\delta_i})$$

记 $\alpha_i := 1 - e^{-\sigma_i \delta_i}$（段不透明度），合并得 NeRF 离散公式：

$$\boxed{\;C(\mathbf{r}) \approx \sum_{i=1}^{N} T_i\,\alpha_i\,\mathbf{c}_i,\quad T_i = \prod_{j

这正是图形学 front-to-back alpha-compositing 公式。关键：$\alpha_i = 1 - e^{-\sigma_i\delta_i}$ 而非 $\sigma_i\delta_i$；当 $\sigma_i\delta_i$ 小时近似相等（一阶 Taylor），但大时差异显著（饱和到 1 vs 线性发散）。

2.4　位置编码 $\gamma(p)$：表示高频细节

MLP 默认是低频偏置（NTK 分析），直接拟合 $f(\mathbf{x})$ 会糊。NeRF 用 positional encoding 提频：

$$\gamma(p) = \big(\sin(2^0\pi p),\cos(2^0\pi p),\sin(2^1\pi p),\cos(2^1\pi p),\dots,\sin(2^{L-1}\pi p),\cos(2^{L-1}\pi p)\big)$$

对 $\mathbf{x}$ 用 $L=10$（60 维），对 $\mathbf{d}$ 用 $L=4$（24 维）。后续 Tancik et al. 2020 "Fourier Features" 给了 NTK 解释：高频 $\sin/\cos$ 让 kernel 衰减更慢，使 MLP 可学高频。

2.5　Hierarchical Sampling：粗 → 细

• Coarse 网络：均匀采样 $N_c = 64$ 点，渲染得到 weights $w_i = T_i \alpha_i$
• Fine 网络：归一化 $w$ 为 PDF，按重要性采 $N_f = 128$ 新点（重要性采样：表面附近权重大，应密集采样）
• 用 coarse + fine 总共 $N_c + N_f$ 点合成最终颜色
• Loss：$\mathcal{L} = \|C_c - C_\text{gt}\|^2 + \|C_f - C_\text{gt}\|^2$（两个网络都监督，coarse 提供 sampler 的 well-defined 梯度）

2.6　NeRF 训练代码（核心 30 行）

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

def positional_encoding(x: torch.Tensor, L: int) -> torch.Tensor:
    """ x: [..., D];  返回 [..., D*2*L]，NeRF γ(p) 不含原始 x """
    freqs = 2.0 ** torch.arange(L, device=x.device, dtype=x.dtype) * torch.pi
    args = x.unsqueeze(-1) * freqs                # [..., D, L]
    pe = torch.stack([torch.sin(args), torch.cos(args)], dim=-1)  # [..., D, L, 2]
    return pe.flatten(-3)                          # [..., D*2*L]

def volume_render(sigma: torch.Tensor, color: torch.Tensor, t_vals: torch.Tensor,
                  ray_d: torch.Tensor):
    """
    NeRF 离散 α-compositing
        sigma:   [B, N]        体密度 (>= 0; 通常已经过 softplus / ReLU)
        color:   [B, N, 3]     颜色
        t_vals:  [B, N]        ray 上采样点的 t 值（单调递增）
        ray_d:   [B, 3]        ray 方向（用于把 Δt → 真实距离）
    返回 C: [B, 3], weights: [B, N], depth: [B]
    """
    # δ_i = t_{i+1} - t_i ；最后一段补 1e10（吸收掉远端到无穷的剩余）
    deltas = t_vals[..., 1:] - t_vals[..., :-1]
    delta_far = torch.full_like(deltas[..., :1], 1e10)
    deltas = torch.cat([deltas, delta_far], dim=-1)            # [B, N]
    deltas = deltas * torch.norm(ray_d[:, None, :], dim=-1)    # 把 t-间距换成真实欧氏距离

    alpha = 1.0 - torch.exp(-sigma * deltas)                   # [B, N]
    # T_i = ∏_{j<i} (1 - α_j) —— 用 cumprod，shift 一位让 T_1 = 1
    T = torch.cumprod(torch.cat([torch.ones_like(alpha[..., :1]),
                                 1.0 - alpha + 1e-10], dim=-1), dim=-1)[..., :-1]
    weights = T * alpha                                        # [B, N]
    C = (weights[..., None] * color).sum(dim=-2)               # [B, 3]
    depth = (weights * t_vals).sum(dim=-1)                     # [B]
    return C, weights, depth

2.7　Mip-NeRF / Mip-NeRF 360（抗锯齿）

vanilla NeRF 在低分辨率 / 缩放下走样严重（同一像素对应不同尺度的 cone，但 NeRF 当作 ray 处理）。

• Mip-NeRF (Barron 2021 ICCV)：把 ray 视为 cone（视锥），用 Integrated Positional Encoding (IPE)——对 cone 段内的 PE 做闭式 Gaussian 期望 $\mathbb{E}_{\mathbf{x}\sim\mathcal{N}(\mu,\Sigma)}[\gamma(\mathbf{x})]$。对频率 $\omega = 2^k\pi$ 而言，$\mathbb{E}[\sin\omega x] = \sin(\omega\mu)\,e^{-\frac{1}{2}\omega^\top\Sigma\,\omega}$；高频系数被 cone 协方差 $\Sigma$ 通过 $e^{-\frac{1}{2}\omega^\top\Sigma\omega}$ 自动衰减，自然实现 multi-scale。
• Mip-NeRF 360 (Barron 2022 CVPR)：unbounded scene 用 contraction $f(x) = (2 - 1/\|x\|)\,x/\|x\|$ for $\|x\| > 1$，把无穷远压缩到 ball；加 distortion / proposal MLP 损失。

2.8　NeuS / VolSDF：体渲染 + SDF（导出 mesh 的关键）

NeRF 是 density-based，提取 mesh 需选 $\sigma$ 阈值（不稳）。NeuS (Wang 2021 NeurIPS) 用 SDF $d(\mathbf{x})$ 替换 density：

$$\sigma(t) = \max\!\left(\frac{-\frac{d}{dt}\Phi_s(d(\mathbf{r}(t)))}{\Phi_s(d(\mathbf{r}(t)))},\; 0\right),\quad \Phi_s(d) = (1 + e^{-sd})^{-1}$$

其中 $\Phi_s$ 是 sigmoid，$s$ 是可学习"sharpness"。性质：表面处（$d=0$）权重峰值；可直接 Marching Cubes 提 mesh（mesh 是 $\{d = 0\}$）。

VolSDF (Yariv 2021 NeurIPS) 用 Laplace CDF $\sigma = \alpha\,\Phi(-d/\beta)$，思想类似。

§3 Instant-NGP：5+ OOM 加速（必考）

NeRF (vanilla) 训练一个场景要 1-2 天。Instant-NGP (Müller 2022 SIGGRAPH Best Paper) 5 秒就能拟合一个简单场景。

3.1　核心 idea：多分辨率 hash 网格

把"密集网格 vs 大 MLP"换成"稀疏 hash 网格 + tiny MLP"。

• $L$ 层分辨率（如 $L = 16$），第 $\ell$ 层格点数 $N_\ell = \lfloor N_\min \cdot b^\ell \rfloor$，几何级数（$b \approx 1.38$；论文典型取值 $N_\min = 16$，$N_\max \in [512, 2048]$ 视场景大小而定）
• 每层用 hash function 把格点坐标映到固定大小的特征表（$T = 2^{14}$–$2^{24}$，典型 $T = 2^{19} = 524288$）
• 查询点 $\mathbf{x}$：对每层做 8 角点三线性插值 → 拼成 $L \times F$ 维特征（$F = 2$）
• 喂给 tiny MLP ($2$ 层, hidden 64) 输出 $\sigma, \mathbf{c}$

3.2　Hash function

$$\text{hash}(\mathbf{x}) = \bigg(\bigoplus_{i=1}^{d} x_i \cdot \pi_i\bigg) \bmod T$$

$\pi_i$ 是大质数（$\pi_1 = 1, \pi_2 = 2654435761, \pi_3 = 805459861$）。 $\oplus$ 是 XOR。这是一种 spatial hash：常用于物理仿真的 BVH。

3.3　Hash collision 怎么消歧？（L3 高频追问）

当 $N_\ell^d > T$（fine level 必然发生），多个格点映到同一表项 → 冲突。Why does it still work?

1. Multi-resolution 冗余：粗 level 的特征 unique（$N_\ell^d \le T$），细 level 提供补充。MLP 可从粗特征恢复结构，细 level 只负责 detail。
2. 稀疏性优先：大部分空间是空（NeRF 场景多数 voxel 是 background），有意义的 query 集中在表面附近，冲突的"有效格点对"很少。
3. 梯度自动消歧：训练时只有表面附近格点会有非零梯度（被 ray weights 加权）。空白区的"冲突 entry"得不到梯度信号，不污染表面 entry。
4. MLP 后处理：tiny MLP 在 $L \times F$ 拼接特征上学一个分类/回归，遇到冲突的表面点可用 其他 level 不冲突的特征 disambiguate。

3.4　Instant-NGP 训练公式

参数：hash table $\theta_\text{hash} \in \mathbb{R}^{L \times T \times F}$ + MLP weights $\theta_\text{MLP}$。Loss 仍是 photometric MSE，但训练 5 秒 vs NeRF 1 天的差别来自：

• Tiny MLP：参数少 100×，前向快 ~50×
• Hash 表：稀疏激活，cache friendly
• CUDA kernel fuse：tiny-cuda-nn 把 forward + backward 融合
• Occupancy grid：粗占用网格 skip 空白区采样，避免无效 query

3.5　Plenoxels / TensoRF（同期的 explicit 派）

Plenoxels (Fridovich-Keil 2022 CVPR)：纯 voxel 网格 + 球谐 SH 系数 + density，完全没 MLP，直接梯度下降到 voxel；速度类似 Instant-NGP 但显存大。TensoRF (Chen 2022 ECCV)：把 4D tensor field 用 VM / CP 分解 压缩，参数量从 $O(N^4)$ 降到 $O(N)$ 或 $O(N^2)$。

§4 3D Gaussian Splatting：显式可微光栅化（当前主力）

3DGS (Kerbl 2023 SIGGRAPH Best Paper) 解决了 NeRF 的两大痛：渲染慢、editing 难。

4.1　场景表示

场景 = 一组 3D Gaussian $\{G_i\}$，每个：

• 均值 $\mu_i \in \mathbb{R}^3$（位置）
• 协方差 $\Sigma_i \in \mathbb{R}^{3\times 3}$（形状），分解为 $\Sigma = R S S^\top R^\top$（rotation $R$ + diag scaling $S$）
• 不透明度 $\alpha_i \in [0, 1]$
• 颜色 $c_i(\mathbf{d})$ 用 SH 系数（$\ell = 3$，每色 16 系数，共 48 参数）

为什么用 $R S S R^\top$ 而不直接学 $\Sigma$？— 要保证 $\Sigma$ 正定。直接学 $\Sigma$ 矩阵在梯度下会跑出半正定锥；分解后只需保证 $R$ 正交（用四元数 $q$ 参数化）+ $S$ 正（用 $\exp(s)$ 参数化），自然满足。

4.2　3D → 2D 投影 Jacobian（L3 必考推导）

把 3D Gaussian splat 到屏幕上做光栅化，需要把 3D 协方差 $\Sigma$ 投影到 2D 协方差 $\Sigma'$。

Step 1：World → Camera：刚体变换 $W \in SE(3)$。$\Sigma_\text{cam} = W \Sigma W^\top$（这里 $W$ 取旋转部分；平移不影响协方差）。

Step 2：Camera → Screen：透视投影非线性：

$$\pi(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} f_x\,x/z \\ f_y\,y/z \end{pmatrix}$$

非线性映射的协方差近似用一阶 Taylor。在均值 $\mu_\text{cam} = (x, y, z)$ 处求 Jacobian：

$$J = \frac{\partial \pi}{\partial \mathbf{x}}\bigg|_{\mu_\text{cam}} = \begin{pmatrix}\dfrac{f_x}{z} & 0 & -\dfrac{f_x\,x}{z^2}\\[2pt] 0 & \dfrac{f_y}{z} & -\dfrac{f_y\,y}{z^2}\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 3}$$

Step 3：2D 协方差（核心公式）：

$$\boxed{\;\Sigma' = J\,W\,\Sigma\,W^\top\,J^\top \in \mathbb{R}^{2\times 2}\;}$$

推导：若 $\mathbf{x} \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$，则一阶近似 $\pi(\mathbf{x}) \approx \pi(\mu) + J(\mathbf{x} - \mu)$，所以 $\text{Cov}[\pi(\mathbf{x})] \approx J\,\Sigma_\text{cam}\,J^\top = J W \Sigma W^\top J^\top$。这就是 EWA splatting (Zwicker 2001) 的经典推论。

4.3　可微光栅化：tile-based front-to-back alpha-blending

像素 $\mathbf{p}$ 的颜色：

$$C(\mathbf{p}) = \sum_{i \in \mathcal{N}(\mathbf{p})}\,c_i\,\alpha_i\,G_i'(\mathbf{p}) \prod_{j < i}\big(1 - \alpha_j\,G_j'(\mathbf{p})\big)$$

其中 $G_i'(\mathbf{p}) = \exp\!\big(-\tfrac{1}{2}(\mathbf{p} - \mu_i')^\top \Sigma_i'^{-1} (\mathbf{p} - \mu_i')\big)$ 是 2D Gaussian 在像素的值，$\mathcal{N}(\mathbf{p})$ 是覆盖 $\mathbf{p}$ 的 Gaussian 按深度排序。

关键工程：

1. Tile 划分：屏幕分成 $16\times 16$ tile，每 tile 内 Gaussian 按深度排序，并行渲染
2. GPU sort：用 radix sort，按 (tile_id, depth) 复合键
3. Front-to-back early stop：当累计 $\prod(1 - \alpha G') < 10^{-4}$ 时退出
4. CUDA kernel：作者公开 diff-gaussian-rasterization，前向 + 反向都是 manual derivative

4.4　3DGS 前向（PyTorch reference 实现）

def quat_to_rot(q: torch.Tensor) -> torch.Tensor:
    """ q: [N, 4] (w, x, y, z) already normalized;  返回 R: [N, 3, 3] """
    w, x, y, z = q.unbind(-1)
    R = torch.stack([
        1 - 2*(y*y + z*z),   2*(x*y - w*z),     2*(x*z + w*y),
        2*(x*y + w*z),       1 - 2*(x*x + z*z), 2*(y*z - w*x),
        2*(x*z - w*y),       2*(y*z + w*x),     1 - 2*(x*x + y*y),
    ], dim=-1).reshape(-1, 3, 3)
    return R

def gaussian_splat_forward(
    means3D: torch.Tensor,        # [N, 3]  Gaussian 中心 (world)
    scales: torch.Tensor,          # [N, 3]  log-scale (取 exp 得真实 scale)
    quats: torch.Tensor,           # [N, 4]  四元数 (会归一化)
    opacities: torch.Tensor,       # [N, 1]  σ(logit) → α
    colors: torch.Tensor,          # [N, 3]  (这里简化为 RGB，不展 SH)
    viewmat: torch.Tensor,         # [4, 4]  world→camera
    K: torch.Tensor,               # [3, 3]  内参 (fx, fy, cx, cy)
    H: int, W: int,
):
    """ 教学版前向：不做 tile sort / CUDA，仅展示数学。
        实际生产用 gsplat / diff-gaussian-rasterization。 """
    N = means3D.shape[0]
    device = means3D.device

    # --- 1. World → Camera ---
    homo = torch.cat([means3D, torch.ones(N, 1, device=device)], dim=-1)
    mu_cam = (homo @ viewmat.T)[:, :3]                          # [N, 3]
    z = mu_cam[:, 2].clamp(min=1e-4)                            # 防除零

    # --- 2. 协方差 (3D) ---
    q = quats / quats.norm(dim=-1, keepdim=True)
    R = quat_to_rot(q)                                          # [N, 3, 3]
    S = torch.diag_embed(torch.exp(scales))                     # [N, 3, 3]
    cov3D = R @ S @ S.transpose(-1, -2) @ R.transpose(-1, -2)   # [N, 3, 3]

    # World→Cam 旋转部分 W_rot (3x3) 应用到协方差
    W_rot = viewmat[:3, :3]
    cov_cam = W_rot @ cov3D @ W_rot.T                           # [N, 3, 3]

    # --- 3. 投影 Jacobian J (2x3) ---
    fx, fy = K[0, 0], K[1, 1]
    x_c, y_c, z_c = mu_cam[:, 0], mu_cam[:, 1], z
    J = torch.zeros(N, 2, 3, device=device)
    J[:, 0, 0] = fx / z_c
    J[:, 0, 2] = -fx * x_c / z_c**2
    J[:, 1, 1] = fy / z_c
    J[:, 1, 2] = -fy * y_c / z_c**2

    # --- 4. 2D 协方差 Σ' = J W Σ W^T J^T ---
    cov2D = J @ cov_cam @ J.transpose(-1, -2)                   # [N, 2, 2]
    cov2D = cov2D + 0.3 * torch.eye(2, device=device)           # low-pass filter (anti-aliasing)

    # --- 5. 2D 中心 (像素坐标) ---
    cx, cy = K[0, 2], K[1, 2]
    mu2D = torch.stack([fx * x_c / z_c + cx, fy * y_c / z_c + cy], dim=-1)  # [N, 2]

    # --- 6. 深度排序 (front to back) ---
    depth = z_c
    order = depth.argsort()                                     # ascending z
    mu2D, cov2D = mu2D[order], cov2D[order]
    colors_o = colors[order]
    alphas = torch.sigmoid(opacities[order]).squeeze(-1)        # [N]

    # --- 7. 像素遍历 (教学版用全图 loop；真实实现 tile + CUDA) ---
    yy, xx = torch.meshgrid(torch.arange(H, device=device),
                            torch.arange(W, device=device), indexing='ij')
    pix = torch.stack([xx, yy], dim=-1).float()                 # [H, W, 2]

    img = torch.zeros(H, W, 3, device=device)
    T_acc = torch.ones(H, W, device=device)
    inv_cov = torch.linalg.inv(cov2D)                           # [N, 2, 2]

    for i in range(mu2D.shape[0]):
        diff = pix - mu2D[i]                                    # [H, W, 2]
        # 2D Gaussian: exp(-0.5 (diff)^T Σ^-1 (diff))
        G = torch.exp(-0.5 * (diff @ inv_cov[i] * diff).sum(-1))  # [H, W]
        contrib = alphas[i] * G                                 # [H, W]
        contrib = contrib.clamp(max=0.99)                       # 数值
        img = img + (T_acc * contrib).unsqueeze(-1) * colors_o[i]
        T_acc = T_acc * (1 - contrib)
        if (T_acc < 1e-4).all():                                # early stop
            break

    return img

4.5　自适应密度控制（面试常问）

3DGS 初始用 SfM (COLMAP) 稀疏点云，但训练过程要"撒"出更多 Gaussian。

启发式条件：gradient norm > τ_pos（如 $2 \times 10^{-4}$），scale > τ_scale（场景尺度 1%）。

def densify_and_prune(gaussians, grad_thresh=2e-4, scale_thresh=0.01,
                      max_screen_size=None):
    """ 教学版 densify 决策（简化；真实 gsplat 还有 screen-size 触发）。
        假设 gaussians 暴露以下 1D 形状的字段（N = 当前 Gaussian 数量）:
          xyz_grad_accum: [N]  ‖累积 xyz 梯度范数‖
          denom:          [N]  累积次数（防 /0）
          scales:         [N, 3]  log-scale
          opacities:      [N]  sigmoid 后 ∈ (0, 1)
          screen_size:    [N]  最近一次渲染的屏幕投影大小（可选）
          grad_dir:       [N, 3]  最近一次梯度方向（用于 clone offset）
    """
    grad_norm  = gaussians.xyz_grad_accum / gaussians.denom.clamp(min=1)      # [N]
    mean_scale = gaussians.scales.exp().max(dim=-1).values                    # [N]

    # CLONE：高梯度 + 小 scale —— 复制一份并沿梯度方向偏移；原始保留
    clone_mask = (grad_norm > grad_thresh) & (mean_scale <= scale_thresh)     # [N]
    gaussians.clone_at(clone_mask, offset=gaussians.grad_dir[clone_mask])

    # SPLIT：高梯度 + 大 scale —— 拆成 2 个子高斯（scale ÷ 1.6），并在末尾删除原始
    split_mask = (grad_norm > grad_thresh) & (mean_scale >  scale_thresh)     # [N]
    gaussians.split_at(split_mask, n=2, scale_div=1.6)

    # PRUNE：低 opacity / 屏幕过大 / 已被 split 标记
    # ⚠️ 注意：clone 增加的新 Gaussian 已 append 到末尾，长度变了；这里的 mask 仅作用于原 N 个
    prune_mask = (gaussians.opacities[:split_mask.shape[0]] < 0.005) | split_mask
    if max_screen_size is not None:
        prune_mask = prune_mask | (gaussians.screen_size[:split_mask.shape[0]] > max_screen_size)
    gaussians.remove_original(prune_mask)   # 只删除原始 N 个里被标记的

    gaussians.reset_grad_accum()
    return gaussians

4.6　2DGS / Surfels（surface-aligned）

3DGS 的 ellipsoid 不是 surface-aware；提 mesh 需 SuGaR / GSDF 后处理。2DGS (Huang 2024 SIGGRAPH) 把 3D ellipsoid 退化成 2D disk（一个 axis = 0），直接对齐表面，更适合 normal / depth 监督，提 mesh 时质量明显更好。

4.7　动态 4DGS

Dynamic 3DGS (Luiten 2024 3DV) 每帧独立 Gaussian + 物理 prior 连接；4DGS (Wu 2024 CVPR / Yang 2024 ICLR) 把 $\mu(t), \Sigma(t)$ 写成时间函数（MLP 或 spline）；SC-GS (Huang 2024) 用 sparse control points 驱动密集 Gaussian（类似 LBS）。

§5 Mesh 提取：Marching Cubes / DMTet

NeRF / 3DGS 重建后，下游（仿真器、AR、3D 打印）经常需要 mesh。

5.1　Marching Cubes（经典必考）

输入：3D 标量场 $f(\mathbf{x})$（density / SDF）+ 阈值 $\tau$。输出：水平集 $\{f = \tau\}$ 的三角网格。

算法骨架：

1. 把空间 voxel 化（每 voxel 8 角点）
2. 对每个 voxel，8 角点二值化（$f > \tau$ 为 1, 否则 0）→ 256 种可能配置
3. 查 lookup table：每个配置预定义了几条等值面三角片 + edge 上的顶点位置
4. 线性插值 找精确顶点：在 edge 两端 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 之间，插值 $t = (\tau - f(\mathbf{a})) / (f(\mathbf{b}) - f(\mathbf{a}))$，顶点 $= \mathbf{a} + t(\mathbf{b} - \mathbf{a})$
5. 合并所有 voxel 三角片 → 完整 mesh

def marching_cubes_sketch(density: torch.Tensor, threshold: float):
    """ 真实实现用 mcubes / scikit-image / pytorch3d；这里写思路 """
    from skimage.measure import marching_cubes
    # density: [Nx, Ny, Nz]；detach() 切断 autograd 图，cpu().numpy() 转 host
    verts, faces, normals, _ = marching_cubes(
        density.detach().cpu().numpy(),
        level=threshold,
        spacing=(1.0, 1.0, 1.0),
        gradient_direction='descent',  # 法线方向；descent = surface 朝低密度
    )
    return verts, faces, normals

5.2　Differentiable: DMTet / FlexiCubes（端到端学 mesh）

Marching Cubes 不可微（lookup table 离散）。

• DMTet (Shen 2021 NeurIPS / Munkberg 2022 CVPR)：用 deformable tetrahedral grid，每四面体 4 顶点 SDF + 位置 offset 可微。Marching Tetrahedra 替代 MC，topology 由 SDF sign 决定，几何由顶点位置决定，全程可微。
• FlexiCubes (Shen 2023 SIGGRAPH)：泛化 dual marching cubes，引入额外可学参数（dual vertex offset / interpolation weight）解决 quality artifacts。

典型用法：DreamFusion 之后的 Magic3D、Fantasia3D 用 DMTet 在 SDS 监督下学 mesh + texture。

§6 SDS Loss：用 2D Diffusion 监督 3D（DreamFusion 系列）

6.1　问题设置

我们想生成 3D 资产但 没有 3D 训练数据——3D 数据稀缺（ShapeNet ~5万件，Objaverse-XL 1000万件但质量参差）。Pretrained 2D diffusion（Stable Diffusion, Imagen）海量。能否用 2D diffusion 当老师 supervise 3D？

DreamFusion (Poole et al. 2022 arXiv → ICLR 2023 Outstanding Paper) 提出 Score Distillation Sampling (SDS)。

6.2　Setup

• 3D 表示 $\theta$（NeRF 参数 / DMTet vertices / 3DGS 点云）
• 可微渲染器 $g(\theta, \pi) \to x$，$x$ 是图像（$\pi$ 是相机视角）
• Pretrained 2D diffusion $\epsilon_\phi(x_t; y, t)$（$y$ 是文本 prompt）

目标：让 $g(\theta, \pi)$ 看起来像"$y$ 的 photo"，即 $g(\theta, \pi)$ 落在 diffusion 学到的数据流形上。

6.3　SDS gradient 推导（L3 必考）

直觉：用 diffusion training loss 反传到 $\theta$。Naive 想法：把渲染图 $x = g(\theta, \pi)$ 当训练样本，最小化

$$\mathcal{L}_\text{diff}(\theta) = \mathbb{E}_{t, \epsilon}\Big[w(t)\big\|\epsilon_\phi(x_t; y, t) - \epsilon\big\|^2\Big],\quad x_t = \alpha_t x + \sigma_t \epsilon$$

对 $\theta$ 求梯度（链式法则）：

$$\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{diff} = \mathbb{E}\Big[w(t)\,2\big(\epsilon_\phi(x_t; y, t) - \epsilon\big)\,\underbrace{\frac{\partial \epsilon_\phi(x_t;y,t)}{\partial x_t}}_{\text{U-Net Jacobian}}\,\alpha_t\,\underbrace{\frac{\partial x}{\partial \theta}}_{\text{renderer Jacobian}}\Big]$$

问题：U-Net Jacobian $\partial \epsilon_\phi / \partial x_t$ 计算昂贵且数值差（diffusion 模型大且未训练 second-order 稳定）。

SDS trick：直接扔掉 U-Net Jacobian，得到：

$$\boxed{\;\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{SDS} \;=\; \mathbb{E}_{t, \epsilon}\Big[w(t)\,\big(\epsilon_\phi(x_t; y, t) - \epsilon\big)\,\frac{\partial x}{\partial \theta}\Big]\;}$$

(原 DreamFusion 论文写成 $\partial L/\partial \theta$ 形式；$\alpha_t$ 与常数 2 被吸收到 $w(t)$ 里。)

6.4　为什么扔掉 Jacobian 反而 work？

第一种解释（DreamFusion 原版，score 视角）：$\epsilon_\phi(x_t; y, t)/\sigma_t \approx -\nabla_{x_t}\log p_\phi(x_t|y)$（score）。 SDS gradient = (predicted score - noise) × renderer Jacobian，相当于把渲染图朝高概率方向推。

第二种解释（mode-seeking）：SDS 等价最小化 $\mathbb{E}_t[D_\text{KL}(q(x_t|\theta) \,\|\, p_\phi(x_t|y))]$ 的某种 mode-seeking 形式：往 $p_\phi(\cdot|y)$ 的高概率区跑。

6.5　SDS 副作用：over-saturation / mode collapse / Janus

• Over-saturation：颜色饱和，对比度过高（"plastic-y look"）
• Over-smoothing：细节糊
• Mode collapse：物体趋于"canonical" 单一形式
• Janus problem：3D 物体在不同视角都长出一张"前脸"（人脸出现在头后；动物两边都是头）

根因：SDS 等价 mode-seeking KL，加上大 CFG 系数（DreamFusion 默认 100）才能逃出 mean-mode。CFG=100 把分布锐化到极端 → over-saturation。

6.6　SDS 代码（核心 30 行）

def sds_loss(
    renderer,                 # θ → x (B, 3, H, W)
    theta,                    # 3D 参数 (NeRF / 3DGS / DMTet)
    prompt_emb,               # 文本 embedding (cond) [B, L, D]
    uncond_emb,               # 文本 embedding (uncond / null) [B, L, D]
    unet,                     # frozen 2D diffusion U-Net (e.g. SD); 返回 noise pred Tensor
    alpha_cumprod: torch.Tensor,  # [T_max] precomputed bar-alpha schedule
    cfg_scale: float = 100.0,
    t_range: tuple = (0.02, 0.98),
):
    """ Score Distillation Sampling loss (DreamFusion).
        约定: unet(x_t, t, encoder_hidden_states=emb) -> [B, 3, H, W] noise pred.
        如果用 diffusers 的 UNet2DConditionModel, 包一层取 .sample 即可。
        返回的是 grad surrogate, 直接 backward 即可。 """
    x = renderer(theta)                                  # [B, 3, H, W]
    B = x.shape[0]
    device, dtype = x.device, x.dtype
    T_max = alpha_cumprod.shape[0]                       # 通常 1000

    # 1. 采样 t 和 noise，forward 加噪
    t = torch.randint(int(t_range[0] * T_max), int(t_range[1] * T_max),
                      (B,), device=device)
    noise = torch.randn_like(x)
    abar = alpha_cumprod.to(device=device, dtype=dtype)[t].view(B, 1, 1, 1)
    x_t = abar.sqrt() * x + (1 - abar).sqrt() * noise

    # 2. U-Net 预测 noise (cond / uncond)，CFG 组合；关键：不对 diffusion 求导
    with torch.no_grad():
        eps_uncond = unet(x_t, t, encoder_hidden_states=uncond_emb)
        eps_cond   = unet(x_t, t, encoder_hidden_states=prompt_emb)
        eps_pred = eps_uncond + cfg_scale * (eps_cond - eps_uncond)

    # 3. SDS gradient: w(t)(ε_pred - ε) · ∂x/∂θ; w(t) = σ_t² 是常见选择
    grad = ((1 - abar) * (eps_pred - noise)).detach()
    # backward of (grad · x) 给出 grad · ∂x/∂θ
    return (grad * x).sum() / B

6.7　VSD：变分 SDS（ProlificDreamer, NeurIPS 2023 Spotlight）

VSD (Wang 2023 NeurIPS) 把 SDS 视为"对 single $\theta$ 做点估计"的特殊情况，泛化为对 $\theta$ 分布 $\mu(\theta)$ 做变分推断。

Setup

• 把 3D 参数 $\theta$ 当 latent random variable，$\mu(\theta)$ 是其分布
• 目标：让 rendered image distribution 与 diffusion 学到的 prior 分布对齐（不是 mode 对齐）

Objective and gradient

ProlificDreamer 把目标写成 KL：

$$\min_{\mu}\; D_\text{KL}\!\Big(q_\mu^t(x_t|y)\;\Big\|\;p_\phi^t(x_t|y)\Big),\quad t\sim\mathcal{U}[0,1]$$

其中 $q_\mu^t$ 是 "从 $\theta\sim\mu$ 渲染 + 加噪到 $t$" 诱导的分布。变分梯度（Wang et al. 2023, Theorem 2 略写）给出关于 $\theta$ 的更新方向为 relative score：

$$\boxed{\;\nabla_\theta \mathcal{L}_\text{VSD} \;=\; \mathbb{E}_{t,\epsilon}\Big[\,w(t)\,\big(\epsilon_\phi(x_t;y,t) \;-\; \epsilon_\psi(x_t;y,t,\pi)\big)\,\frac{\partial x}{\partial \theta}\,\Big]\;}$$

对比 SDS：把 raw noise $\epsilon$ 替换成辅助 score $\epsilon_\psi$。$\epsilon_\psi$ 是 LoRA 微调 的 score network，在线最小化 score-matching loss 来跟踪当前 $q_\mu^t$ 的 score；它扮演的是 "variance-reduction baseline" 的角色（与 RL actor-critic 的 value baseline 同构）。注意：上面是 gradient form，不是平方-loss form；论文没有"先写一个 $\|\epsilon_\phi-\epsilon_\psi\|^2$ 标量 loss 再求导"的可实现形式——$\epsilon_\psi$ 依赖 $\mu$，那样会丢掉 KL 的关键项。

直觉为什么缓解 over-saturation

• SDS：把 rendered $x$ 推向 prior $p_\phi(\cdot|y)$ 的 mode（mean-mode → 需 CFG=100 → over-saturation）
• VSD：用辅助 score 学当前 rendered 分布的"自己的 mode"，更新方向 = 从"我现在在哪"指向"prior 在哪"（relative gradient），不需大 CFG 拉满。CFG 可降到 7.5（常规 diffusion 默认值），avoid extreme sharpening
• 实验上：VSD 颜色更自然，几何更复杂，可同时维护多个 mode（ProlificDreamer 给出 50k 步训练得 photorealistic Buddha 等）

6.8　SDS 衍生家族：mesh / 3DGS + SDS

§7 Single-Image / Few-View 3D 生成

更实用的设定：给一张图，生成 3D。

7.1　Zero-1-to-3 范式（novel view via diffusion）

Zero-1-to-3 (Liu 2023 ICCV)：用 Objaverse 上 finetune Stable Diffusion，让它接收 (input view, target camera) → output novel view。

• Input：单图 $x$ + 相对相机位姿 $\Delta R, \Delta T$
• Diffusion conditioning：image embedding (CLIP) + camera embedding (sinusoidal)
• Output：在 $\Delta R, \Delta T$ 视角下的图

用法：给一个 input view，sample 16-32 个 novel view，再用 NeRF / 3DGS 重建。

衍生：

• Zero-1-to-3++ (Shi 2023)：固定生成 6 个 anchor view（北极视角 + 4 平视角 + 俯视角），减少 randomness
• SyncDreamer (Liu 2024 ICLR)：在 latent 上联合预测多视图（cross-attention 让 views 看到彼此），保证 3D 一致
• MVDream (Shi 2024 ICLR)：text-to-multi-view，4 视图同时生成；后接 SDS 精化

7.2　One-2-3-45 / InstantMesh / TripoSR / Stable Fast 3D

LRM (Hong et al. 2023 arXiv → ICLR 2024) 设定：把图当 token + Plucker ray embedding，transformer 输出 NeRF triplane。这是 TripoSR / InstantMesh 的母模型。

7.3　LRM Triplane 表示（面试高频）

• Triplane (Chan 2022 EG3D)：3 个轴对齐 2D 平面（XY, YZ, XZ），共 $3 \times C \times N \times N$ 维
• 查询 3D 点 $(x, y, z)$：在每个平面双线性插值 → concat → 小 MLP → $(\sigma, \mathbf{c})$
• 优点：比 voxel grid 显存少（$O(N^2)$ vs $O(N^3)$），比 hash grid 更 dense 适合 transformer 输出
• LRM / TripoSR / InstantMesh 都让 transformer 直接 regress triplane tokens

§8 3D Foundation Models（2024 开源浪潮）

8.1　Trellis (Microsoft 2024, 开源)

Trellis (Xiang 2024 arXiv) 是首个尝试做"3D 的 Stable Diffusion"开源工作。

• Structured Latent (SLAT)：把 3D 资产编码到 voxel 上的稀疏 latent grid——既保留空间结构（适合 sparse conv / sparse attention），又紧凑（仅 active voxel 存 latent）
• 3D VAE：把 mesh + texture (signed distance field 派生) → SLAT
• Flow matching prior：在 SLAT 上跑 rectified flow，conditioned on text/image
• 多 decoder：从 SLAT decode 出 NeRF / 3DGS / mesh 三种表示（同一 latent，可选输出格式）
• 训练数据：Objaverse-XL 子集 + 内部高质量集
• 效果：text-to-3D / image-to-3D，几秒到几十秒，质量超过 SDS 系列

8.2　Hunyuan3D-1 / -2 (Tencent 2024-25, 开源)

Hunyuan3D 走 shape-then-texture 两阶段路线。

• Hunyuan3D-1 (Yang 2024 arXiv)：

  • Stage 1: text/image → multi-view image (Zero-1-to-3 系)
  • Stage 2: multi-view → 3D mesh (LRM-like reconstructor)
  • 几秒到几十秒输出 textured mesh

• Hunyuan3D-2 (Tencent 2025, arXiv 2501.12202)：

  • Hunyuan3D-DiT：geometry-only DiT 在 SDF latent 上生成 mesh
  • Hunyuan3D-Paint：multi-view PBR texture diffusion，UV space refinement
  • 高质量 PBR texture（实战可用于游戏 / VR 资产）
• 开源：HuggingFace 上完整权重 + 推理代码

8.3　CLAY (Zhang 2024 SIGGRAPH)

• 3DShape2VecSet latent diffusion：把 mesh 表示为 vector set + cross-attention DiT
• 大规模训练（Objaverse-XL + 内部清洗集）
• 输出 SDF → marching cubes → mesh
• 加 PBR texture stage（类似 Hunyuan3D-2）

Rodin (Microsoft 2023, 商业)：早期 text-to-3D-avatar 产品级系统，diffusion on triplane，主打 character / avatar。

8.4　对比表

§9 复杂度 / 资源对比

§10 与相关方法对比 & Embodied AI 应用

10.1　3D-vs-2D 生成关键区别

10.2　Embodied AI / AR / VR 实战路线

§11 工程实战 & 易踩坑

11.1　COLMAP / SfM 前处理（重建必经）

输入多视图 → 输出内参 $K$ + 外参 $\{R_i, t_i\}$ + 稀疏点云；标准流程 SIFT → matching → incremental SfM → bundle adjustment。常见坑：texture-less / 镜面物体 SfM 失败；动态物体污染外参。

11.2　数值稳定（NeRF/3DGS 通用）

11.3　多机分布式 & 评测指标

分布式：NeRF / Instant-NGP / 3DGS 单 GPU 标准；大场景 3DGS 用 chunk-wise (VastGaussian, CityGaussian)；SDS/VSD 每 iter 跑 2 次 SD forward，8×A100 可显著提速；Trellis / Hunyuan3D 训练是大规模 multi-node DDP。

§12 25 高频面试题

按难度分 3 档（L1 必会 / L2 进阶 / L3 顶级 lab）。每题点开看答案要点 + 易踩坑。

L1 必会题（任何 3D / vision 岗都会问）

L2 进阶题（research-oriented 岗位）

L3 顶级 lab 题（顶会 / industry 研究岗）

§A 附录：代码完整骨架 + 参考文献

A.1　完整 from-scratch 代码包含

volume_render() (NeRF α-compositing 含数值稳定) · positional_encoding() (γ(p) Fourier features) · gaussian_splat_forward() (3DGS 教学版前向 + 投影 Jacobian) · densify_and_prune() (3DGS densification 启发式) · sds_loss() (SDS gradient surrogate) · marching_cubes_sketch() (mesh 提取接口，用 scikit-image)。

A.2　关键论文 reading list

• NeRF 系：Mildenhall 2020 ECCV (HM); Müller Instant-NGP SIGGRAPH 2022 Best; Barron Mip-NeRF / 360 ICCV 2021 / CVPR 2022; Wang NeuS + Yariv VolSDF NeurIPS 2021; Fridovich-Keil Plenoxels CVPR 2022; Chen TensoRF ECCV 2022.
• 3DGS 系：Kerbl 3D Gaussian Splatting SIGGRAPH 2023 Best; Huang 2D Gaussian Splatting SIGGRAPH 2024; Luiten Dynamic 3DGS 3DV 2024; Wu 4DGS CVPR 2024; Guédon SuGaR CVPR 2024.
• Mesh / SDF：Shen DMTet NeurIPS 2021 / FlexiCubes SIGGRAPH 2023.
• SDS 系：Poole DreamFusion arXiv 2022.09 → ICLR 2023 Outstanding; Wang ProlificDreamer (VSD) NeurIPS 2023 Spotlight; Lin Magic3D CVPR 2023; Chen Fantasia3D ICCV 2023; Tang DreamGaussian ICLR 2024; Yi GaussianDreamer CVPR 2024.
• Single-image 3D：Liu Zero-1-to-3 ICCV 2023 / One-2-3-45 NeurIPS 2023 / SyncDreamer ICLR 2024; Shi Zero-1-to-3++ arXiv 2023 / MVDream ICLR 2024; Hong LRM arXiv 2023.11 → ICLR 2024; Tochilkin TripoSR arXiv 2024; Xu InstantMesh arXiv 2024; Boss Stable Fast 3D arXiv 2024.
• 3D Foundation Models：Xiang Trellis arXiv 2024 (Microsoft); Tencent Hunyuan3D-2 arXiv 2501.12202 (2025); Zhang CLAY SIGGRAPH 2024.

A.3　Embodied AI / AR / VR 常见追问

3DGS 接物理引擎 → 先 2DGS / SuGaR 提 mesh → IsaacSim / MuJoCo；NeRF 动态化 → 4DGS / D-NeRF / K-Planes；AR 实时 3DGS → mobile-friendly (PostShot, Luma) + 剪枝 / 量化；3D 数据不足 → Objaverse-XL (Trellis) 或 2D 蒸馏 (DreamFusion 系) 或 multi-view 启发式 (MVDream)。

3D Generation Quick Reference · 主要参考：Mildenhall 2020 (NeRF), Müller 2022 (Instant-NGP), Kerbl 2023 (3DGS), Poole 2022/ICLR 2023 (DreamFusion), Wang 2023 (VSD), Xiang 2024 (Trellis), Tencent 2025 (Hunyuan3D-2). 涵盖：NeRF 体渲染推导、Instant-NGP hash 网格、3DGS 投影 Jacobian、SDS / VSD 梯度推导、single-image 3D、3D foundation models。Embodied AI / AR / VR 必备。